2.2 Sia $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ e sia la corrispondente traslazione. Allora si ha (vedi esercizio 12.4 della sezione "Spazi affini: definizione e proprietà").

Viceversa se $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}$ è un'applicazione affine con parte lineare $id_{\mathbf{V}}$ allora potremo scrivere

\begin{displaymath}\overrightarrow{f(P)f(Q)}= \overrightarrow{PQ}\;\;\;\;\forall\;P,Q\;\in \mathcal{A}\end{displaymath}

Se $f$ non fosse traslazione allora esisterebbero $A,B \in \mathcal{A}$ tali che, posto $f(A)=:C$ e $f(B)=:D$, si avrebbe $\overrightarrow{AC}\neq\overrightarrow{BD}$. D'altra parte noi sappiamo che $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{f(A)f(B)}=\overrightarrow{AB}$ cosa che implica $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$, infatti $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$
e questo è un assurdo.