Contenuti dell'introduzione:

Cos'è la Geometria Affine?
Impostazioni seguite
Prequisiti

COS'È LA GEOMETRIA AFFINE? L'espressione "Geometria Affine" suscita nella maggior parte di coloro che con essa si imbattono una reazione di sorpresa e forse induce a pensare a qualche settore della matematica molto avanzato o particolarmente specialistico.
Invece cosí non è!
D'altra parte spiegare che cosa sia la Geometria Affine non è agevole e in virtú di ciò cominceremo illustrando alcuni esempi familiari degli oggetti di cui essa si occupa: gli spazi affini.
I due modelli di spazio affine con cui tutti, almeno inconsciamente, abbiamo dimestichezza sono costituiti da piano e spazio ordinari, ove ci riferiamo a questi ultimi come ai soggetti studiati durante la scuola secondaria rispettivamente in geometria piana e solida seguendo l'impostazione classica di Euclide formalizzata dagli assiomi di Hilbert (geometria euclidea).
Non è importante richiamare in questa sede tale impostazione, è sufficiente che il lettore abbia un'idea intuitiva degli oggetti (ad esempio punti, rette, segmenti...) trattati nella geometria euclidea e delle proprietà e relazioni che tra essi intercorrono (ad esempio incidenza fra punti e rette, fra rette e rette, parallelismo e perpendicolarità tra rette, congruenza di segmenti e angoli...).
Ma, chiariamolo subito, la geometria affine non è lo studio di piano e spazio ordinari: questi sono spazi affini solo grazie ad alcune proprietà che posseggono e sono esempi particolari nella piú ampia classe degli spazi affini.
In particolare viene spesso detto, in modo efficace ma non del tutto preciso come sarà visto, che la geometria affine di piano e spazio ordinario è ciò che rimane della geometria euclidea dopo che la capacità di misurare lunghezze, aree, angoli... è stata rimossa.
E a questo punto si potrebbe pensare di aver a che fare con un soggetto piuttosto misero, al contrario esso presenta una considerevole ricchezza di argomenti: infatti, anche trascurando le proprietà di natura metrica, rimangono ancora le nozioni di incidenza e parallelismo (in particolare varrà il V postulato di Euclide).

Un generico spazio affine rappresenta la generalizzazione della situazione precedente: ad esempio in un piano affine avremo ancora oggetti come punti e rette e varranno le usuali proprietà di incidenza e il V postulato di Euclide.

L'utilità di questa impostazione si rivela nel momento in cui, volendo studiare proprietà di natura metrica, introduciamo una "unità di misura assoluta" su uno spazio affine (spazi affini metrici). Poiché diverse unità di misura possono essere introdotte sullo stesso spazio affine (senza, è importante rendersene conto, influenzare la soggiacente struttura affine) le asserzioni riguardanti solamente la struttura affine rimarranno in ogni caso valide. Ad esempio rimarrà valido il V postulato di Euclide anche se la metrica introdotta è non-euclidea (come ad esempio accade nello spazio-tempo a 4 dimensioni di Minkowski, fondamentale nella teoria della relatività ristretta).

IMPOSTAZIONI A questo punto si presenta il problema relativo alla scelta dell'impostazione da seguire per "fare" Geometria Affine: sicuramente l'approccio piú moderno e funzionale è quello basato sull'Algebra Lineare, cioè la teoria degli spazi vettoriali; esso viene trattato nella macrosezione Geometria affine da un punto di vista algebrico.
È un'impostazione molto semplice e compatta e inoltre essa si presta efficacemente a trattare problemi di natura tecnica.
Infine l'Algebra Lineare fornisce sistemi di assiomi per tutte le geometrie affini e proiettive, sia metriche che non metriche, e in tal senso si ottiene una organicità che gli altri sistemi di assiomi non possono vantare.

Di diversa natura è l'impostazione sintetica, basata su assiomi di natura geometrica, sicuramente piú intuitivi e che richiamano alla mente l'impostazione di Euclide-Hilbert della geometria elementare.
Pur non rivelandosi particolarmente adatta a trattare questioni di natura tecnica, essa presenta ad ogni modo un indiscutibile valore didattico.
Abbiamo presentato questo approccio nella macrosezione Geometria affine da un punto di vista geometrico limitandoci alla geometria piana.
Ma vogliamo mettere in evidenza che, a parte questa limitazione derivante da una nostra scelta, le due impostazioni sono equivalenti, come mostreremo; in ogni caso le due macrosezioni in cui il sito è suddiviso vanno considerate totalmente separate.

PREREQUISITI: infine un accenno ai prerequisiti matematici necessari per usufruire al meglio di queste pagine: sicuramente la teoria dell'Algebra Lineare di cui vengono utilizzare solamente le nozioni fondamentali ma in maniera massiccia durante tutta la prima macrosezione; inoltre è richiesta una conoscenza minima di Algebra.