Endomorfismi unitari in C

$\qquad$ Risulteranno evidenti anche in questa pagina i frequenti richiami al caso reale, pertanto ometteremo alcune dimostrazioni che sono pressoché identiche, salvo qualche opportuna modifica.

Proposizione 5.1   Un endomorfismo $f$ di uno spazio hermitiano $\mathbf{H}$ è detto unitario se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:
1.
$\ll f(\mathbf{v}),f(\mathbf{w}) \gg \, = \, \ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg, \quad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}$;
2.
$\vert\vert f(\mathbf{v})\vert\vert = \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{H}$;
3.
se $\mathcal{B}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ è una base ortonormale allora anche
$\quad (f(\mathbf{v}_{1},\ldots,f(\mathbf{v}_{n}))$ è una base ortonormale.
4.
esiste una base $(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n})$ ortonormale tale che $\quad (f(\mathbf{w}_{1},\ldots,f(\mathbf{w}_{n}))$ sia una base ortonormale.

Dimostrazione

Allo stesso modo si deduce che $f$ è unitario se e solo se $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ e $\vert\vert f(\mathbf{v})-f(\mathbf{w})\vert\vert=\vert\vert\mathbf{v}-\mathbf{w}\vert\vert$, e da questo che $f$ è invertibile e $f \in GL(\mathbf{H})$.

Proposizione 5.2   Sia $f:\mathbf{H} \rightarrow \mathbf{H}$ unitario. Allora:
-
se $\lambda $ è autovalore per $f, \quad \vert\lambda\vert=1$;
-
se $\mathbf{v},\mathbf{w}$ sono autovettori relativi a due autovalori distinti $\lambda, \mu$ si ha
$ \ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg \, = 0$.

Dimostrazione

Come sempre un operatore è associato ad una matrice:

Definizione 5.3   Una matrice $A \in GL_{n}(\mathbf{C})$ è detta unitaria se $\overline{A}^{t}A=I_{n}$, cioè se $A^{-1}=\overline{A}^{t}$. Poniamo
$U_{(n)}:= \lbrace A \in GL_{n}(\mathbf{C}) \, \vert \, \overline{A}^{t}A=I_{n} \rbrace$
allora $U_{(n)}$ è un sottogruppo di $(GL_{n}(\mathbf{C}),\cdot)$, dove $\cdot$ indica il prodotto righe per colonne, detto gruppo unitario di ordine n.

Naturalmente si avrà che se $A \in U_{(n)}, \quad \vert\det \, A\vert=1$.

Definizione 5.4   $SU_{(n)}$ sono le matrici unitarie definite come
$ SU_{(n)}:= \lbrace A \in U_{(n)} \vert \, \det \, A =1 \rbrace$,
dette gruppo unitario speciale di ordine n, e si ha che
$SO_{(n)} = GL_{n}(\mathbf{R}) \cap SU_{(n)}$.

Proposizione 5.5   Un endomorfismo $f$ su $\mathbf{H}$ è unitario se e solo se la sua matrice $M_{\mathcal{B}}(f)$, rispetto ad una base ortonormale, è una matrice unitaria.

Dimostrazione