Risulteranno evidenti anche in questa pagina i frequenti richiami al caso reale, pertanto ometteremo alcune dimostrazioni che sono pressoché identiche, salvo qualche opportuna modifica.
Proposizione 5.1
Un endomorfismo
di uno spazio hermitiano
è detto unitario se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:
1.
;
2.
;
3.
se
è una base ortonormale allora anche
è una base ortonormale.
4.
esiste una base
ortonormale tale che
sia una base ortonormale.
>
Dimostrazione
Allo stesso modo si deduce che
è unitario se e solo se
e
,
e da questo che
è invertibile e
.
Proposizione 5.2
Sia
unitario. Allora:
-
se
è autovalore per
;
-
se
sono autovettori relativi a due autovalori distinti
si ha
.
>
Dimostrazione
Come sempre un operatore è associato ad una matrice:
Definizione 5.3
Una matrice
è detta unitaria se
,
cioè se
.
Poniamo
allora
è un sottogruppo di
,
dove
indica il prodotto righe per colonne, detto gruppo unitario di ordine n.
>
Naturalmente si avrà che
se
.
Definizione 5.4
sono le matrici unitarie definite come
,
dette gruppo unitario speciale di ordine n, e si ha che
.
>
Proposizione 5.5
Un endomorfismo
su
è unitario se e solo se la sua matrice
,
rispetto ad una base ortonormale, è una matrice unitaria.