Esempi

1.
L'endomorfismo $f:\mathbf{C}^3\times\mathbf{C}^3\rightarrow\mathbf{C}$ tale che rispetto alla base canonica $\mathcal{E}$ si ha

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(f)= \begin{array}({ccc}) \frac{1}{\sqrt{3}}... ... -i\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{3}} \end{array} \end{displaymath}

è un endomorfismo unitario, poiché $f$ conserva la norma, infatti
$\vert\vert f(x,y,z)\vert\vert=\vert\vert(\frac{1}{\sqrt{3}}x-i\sqrt{\frac{2}{3}}z,y,\sqrt{\frac{2}{3}}x+\frac{i}{\sqrt{3}}z)\vert\vert=$
$=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}}-i\sqrt{\frac{2}{3}})(\frac{1}{\sqrt{3}}+i\sqrt{\frac... ...t{\frac{2}{3}}x+\frac{i}{\sqrt{3}}z)(\sqrt{\frac{2}{3}}x-\frac{i}{\sqrt{3}}z))}$=
$=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}x^2+\frac{2}{3}z^2+y^2+\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{3}z^2}=$
$=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\vert\vert(x,y,z)\vert\vert$.

2.
La matrice

\begin{displaymath}A=\begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 1-i\\ 0 & 1 & 0\\ 1-i & 0 & -1 \end{array} \end{displaymath}

è simmetrica, ma non è unitaria, infatti

\begin{displaymath}A\cdot \overline{A}^{t}=\begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 1-i\\ ... ...}({ccc}) 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}; \end{displaymath}

quindi $A\cdot \overline{A}^{t}\neq I_{3}$, che implica $A^{-1}\neq \overline{A}^{t}$.

3.
Si consideri l'endomorfismo unitario
$h:\mathbf{C}^2\times\mathbf{C}^2\rightarrow \mathbf{C},\quad h(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{i}{\sqrt{2}}y,\frac{i}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y)$.
Allora, presa $\mathcal{B}=((-i,0),(0,i))$, base ortonormale per il prodotto hermitiano standard, abbiamo che
$\mathcal{C}=(h(-i,0),h(0,i))=((-\frac{i}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}}))$
è un'altra base ortonormale per il prodotto hermitiano standard.