Autovalori e autovettori

$\qquad$ A differenza di quello che accade nel caso reale, possiamo sempre diagonalizzare gli operatori unitari complessi:

Teorema 6.1   Sia $\mathbf{H}$ uno spazio hermitiano e $f:\mathbf{H} \rightarrow \mathbf{H}$ un operatore unitario; allora esiste una base ortonormale composta di autovettori per $f$.

Dimostrazione

Dal teorema precedente e dal fatto che $f$ rispetto ad una base ortonormale, è associata ad una matrice unitaria, possiamo dedurre che in questo caso ogni matrice unitaria è diagonalizzabile mediante una matrice unitaria, cioè

Corollario 6.2   $\forall A \in U_{(n)} \quad \exists M \in U_{(n)}$ tale che $\overline{M}^{t}AM = M^{-1}AM $ sia diagonale.

In particolare, quindi, ogni matrice appartenente a $O(n)$ è diagonalizzabile come matrice complessa. Bisogna comunque sempre ricordare che una matrice ortogonale non è in generale diagonalizzabile attraverso matrici ad elementi reali perché non sempre ammette autovalori reali.

Definizione 6.3   Un operatore $f:\mathbf{H} \rightarrow \mathbf{H}$ è hermitiano se soddisfa la relazione:
$\ll f(\mathbf{v}),\mathbf{w} \gg = \ll \mathbf{v},f(\mathbf{w}) \gg, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}$.

Consideriamo una base ortonormale $\mathcal{C}=(\mathbf{c}_{1},\ldots,\mathbf{c}_{n})$; allora dati
$\mathbf{v}=x_{1}\mathbf{c}_{1}+ \cdots +x_{n}\mathbf{c}_{n}, \quad \mathbf{w}=y_{1}\mathbf{c}_{1}+ \cdots +y_{n}\mathbf{c}_{n}$,
abbiamo che
$\ll f(\mathbf{v}),\mathbf{w} \gg = (AX)^{t}\overline{Y}=X^t A^t \overline{Y}$,
$ \ll \mathbf{v},f(\mathbf{w}) \gg = X^t (\overline{AY})=X^t \overline{a} \overline{Y}$,
quindi $A^t = \overline{A}$, cioè $A$ è hermitiana; quindi si ha:

Proposizione 6.4   Se un endomorfismo $f$ di $\mathbf{H}$ è hermitiano, allora
la sua matrice rispetto ad una base ortonormale è hermitiana.

E' evidente l'analogia fra gli operatori vettoriali hermitiani e quelli simmetrici dello spazio euclideo, quindi risulterà naturale l'estensione del seguente lemma e del teorema spettrale al caso complesso:

Lemma 6.5   Sia $f$ un endomorfismo hermitiano, allora $f$ ha solo autovalori reali.

Dimostrazione

Teorema 6.6 (Teorema spettrale complesso)   Sia $f:\mathbf{H} \rightarrow \mathbf{H}$ un operatore hermitiano; allora esiste una base ortonormale di $\mathbf{H}$ composta da autovettori per $f$.

Dimostrazione