A differenza di quello che accade nel caso reale, possiamo sempre diagonalizzare gli operatori unitari complessi:
Teorema 6.1
Sia
uno spazio hermitiano e
un operatore unitario; allora esiste una base ortonormale composta di autovettori per .
>
Dimostrazione
Dal teorema precedente e dal fatto che
rispetto ad una base ortonormale, è associata ad una matrice unitaria, possiamo dedurre che in questo caso ogni matrice unitaria è diagonalizzabile mediante una matrice unitaria, cioè
Corollario 6.2
tale che
sia diagonale.
>
In particolare, quindi, ogni matrice appartenente a
è diagonalizzabile come matrice complessa. Bisogna comunque sempre ricordare che una matrice ortogonale non è in generale diagonalizzabile attraverso matrici ad elementi reali perché non sempre ammette autovalori reali.
Definizione 6.3
Un operatore
è hermitiano se soddisfa la relazione:
.
>
Consideriamo una base ortonormale
;
allora dati
,
abbiamo che
,
,
quindi
,
cioè
è hermitiana; quindi si ha:
Proposizione 6.4
Se un endomorfismo
di
è hermitiano, allora
la sua matrice rispetto ad una base ortonormale è hermitiana.
>
E' evidente l'analogia fra gli operatori vettoriali hermitiani e quelli simmetrici dello spazio euclideo, quindi risulterà naturale l'estensione del seguente lemma e del teorema spettrale al caso complesso:
Lemma 6.5
Sia
un endomorfismo hermitiano, allora
ha solo autovalori reali.