Prodotto hermitiano

Definizione 4.1 Dedichiamo maggior spazio al caso in cui

sia una forma hermitiana definita positiva, detta prodotto hermitiano.
Uno spazio vettoriale complesso con un prodotto hermitiano è detto spazio vettoriale hermitiano.

Denotiamo il prodotto hermitiano di due vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ con $\ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg$ per distinguerlo dal prodotto scalare.
Anche nella terminologia si riscontrano profonde influenze del caso reale:
In $\mathbf{C}^{n}$ il prodotto hermitiano standard è definito da

$\ll (x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}) \gg \, = \, x_{1} \overline{y_{1}}+\cdots+x_{n}\overline{y_{n}}$

e $\mathbf{C}^{n}$ munito di tale prodotto prende il nome di n-spazio vettoriale hermitiano.
Si generalizza la teoria delle forme bilineari simmetriche e si definiscono come nello spazio vettoriale euclideo le nozioni metriche di

norma di un vettore: $\quad \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert:=\sqrt{x_{1}\overline{x_{1}}+\dots + x_{n}\overline{x_{n}}}$
ove $\mathbf{v}=(x_{1},\ldots,x_{n})$ rispetto ad una base ortonormale,
coefficiente di Fourier,
proiezione di un vettore lungo la direzione di un vettore non nullo.

Anche nella diagonalizzazione delle forme hermitiane si recuperano la maggior parte dei risultati ottenuti come:

1.: l'esistenza di una base ortonormale,
2.: se $\mathcal{B}=(x_{1},\ldots,x_{n})$ è una base ortonormale, allora la matrice che rappresenta il prodotto hermitiano rispetto alla base $\mathcal{B}$ è $I_{n}$ .
Quindi $\ll (x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}},(y_{1},\ldots,y_{n})_{\mathcal{B}} \gg \, = \,X^{t}\overline{Y}\, = \, x_{1} \overline{y_{1}}+\cdots+x_{n}\overline{y_{n}}$ .

Teorema 4.2

$\begin{displaymath}\vert \ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg \vert \leq \vert\vert\mat... ...rt\vert, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}; \end{displaymath}$

inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $\, \mathbf{v},\mathbf{w}$ sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione

Valgono anche le seguenti proprietá della norma $\, (\forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}, \quad \forall \lambda \in \mathbf{C})$ :

1.: $\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert \geq 0, \qquad \qquad (\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=0 \Leftrightarrow \mathbf{v}=0)$ ;
2.: $\vert\vert \lambda \, \mathbf{v}\vert\vert = \vert \lambda\vert \, \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert$ ;
3.: $\vert\vert\mathbf{v}+\mathbf{\mathbf{w}}\vert\vert \leq \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert+\vert\vert\mathbf{\mathbf{w}}\vert\vert$ .

Infatti avremo che:

1.: Ovvio.
2.: Segue da $\ll \gamma \mathbf{v},\gamma \mathbf{v} \gg =\vert\gamma\vert^2 \ll \mathbf{v},\mathbf{v} \gg, \qquad \forall \gamma \in \mathbf{C}$ .
3.: $\vert\vert\mathbf{v}+\mathbf{w}\vert\vert^2 \leq \vert\vert\mathbf{v}^2+2 \vert\ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg \vert+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^2 \leq$
$\leq \vert\vert\mathbf{v}^2+2 \vert\vert \mathbf{v}\vert\vert \, \vert\vert\mat... ...vert\vert^2 =(\vert\vert \mathbf{v}\vert\vert+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert)^2$ .