Esercizi

1.
Si consideri $\mathbf{H}=\mathbf{C}^3$ e sia $\mathcal{B}=((0,1,0),(-i,0,1),(0,0,i))$ una base per $\mathbf{H}$. Sia $h$ una forma hermitiana tale che

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{B})= \begin{array}({ccc}) 3 & 1 & -i\\ 1 & 1 & 0\\ i & 0 & 1 \end{array}. \end{displaymath}

a)
Si provi che $h$ è un prodotto hermitiano.
b)
Dopo aver trovato una base ortonormale per $h$ partendo da quella assegnata, stabilire se il vettore $\mathbf{v}=(-2,1+i,0)$ è ortogonale al sottospazio $\mathbf{W}=<(0,-i,2+3i),((1,0,-i)>$.
c)
Si calcoli la proiezione di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$.

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Soluzione
Punto a)
Per provare che $h$ è una forma definita positiva, basta applicare il criterio dei minori principali e verificare che tutti i minori principali della matrice associata sono positivi:
$\det (5)=5>0$
$\det \begin{array}({cc}) 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}=5-(1-i^2)=3>0$
$\det \begin{array}({ccc}) 3 & 1 & -i\\ 1 & 1 & 0\\ i & 0 & 1 \end{array}=10+4i^2-2(1+i^2)=2>0$;
allora $h$ è un prodotto hermitiano.
Punto b)
I passo:
Applichiamo il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt :
iniziamo a normalizzare il primo vettore della base di partenza:
$\mathbf{v}_{1}=(0,1,0)$ e calcoliamo
$\vert\vert\mathbf{v}_{1}\vert\vert^2=\begin{array}({ccc}) 0 & 1 & 0 \end{arra... ... 0\\ i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 0\\ 1\\ 0 \end{array}=1$;
quindi otteniamo
$\mathbf{w}_{1}=(0,1,0)$.
Ora calcoliamo gli altri vettori:
$\tilde{\mathbf{w}}_{2}=\mathbf{v}_{2}-(\mathbf{v}_{2}\cdot \mathbf{w}_{1})\mathbf{w}_{1}=$
$=(-i,0,1)-\begin{array}({ccc}) -i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({ccc}) ... ... i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 0\\ 1\\ 0 \end{array}(0,1,0)=$
$=(-i,0,1)+i(0,1,0)=(-i,i,1)$.
Poiché $\vert\vert\tilde{\mathbf{w}}_{2}\vert\vert^2=\begin{array}({ccc}) -i & i & 1 ... ... i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) i\\ -i\\ 1 \end{array}=-i^2=1$; allora abbiamo
$\mathbf{w}_{2}=(-i,i,1)$.
$\tilde{\mathbf{w}}_{3}=\mathbf{v}_{3}-(\mathbf{v}_{3}\cdot \mathbf{w}_{1})\mathbf{w}_{1}-(\mathbf{v}_{3}\cdot \mathbf{w}_{2})\mathbf{w}_{2}=$
$=(0,0,i)-\begin{array}({ccc}) 0 & 0 & i \end{array} \begin{array}({ccc}) 3 ... ... i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 0\\ 1\\ 0 \end{array}(0,1,0)+$
$-\begin{array}({ccc}) 0 & 0 & i \end{array} \begin{array}({ccc}) 3 & 1 & -i... ... & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) i\\ -i\\ 1 \end{array}(-i,i,1)=$
$=(0,0,i)-0(0,1,0)-0(-i,i,1)=(0,0,i)$.
Poiché $\vert\vert\tilde{\mathbf{w}}_{3}\vert\vert^2=\begin{array}({ccc}) 0 & 0 & i \... ... i & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 0\\ 0\\ -i \end{array}=-i^2=1$; allora abbiamo
$\mathbf{w}_{3}=(0,0,i)$.
Avremo quindi che $\mathcal{C}=((0,1,0),(-i,i,1),(0,0,i))$ è una base ortonormale per $h$.
II passo:  
Per semplificare i calcoli, troviamo le coordinate di $\mathbf{v}$ e dei vettori che generano $\mathbf{W}$ rispetto alla nuova base e applichiamo la formula della proiezione ortogonale :
$\mathbf{v}=(-2,1+i,0)=(i-1,-2i,2)_{\mathcal{C}}$, mentre
$\mathbf{W}=<(0,-i,2+3i),(1,0,-i)>=<(-i,0,3-2i)_{\mathcal{C}},(1,i,-2)_{\mathcal{C}}>$.
Ora basta verificare che
$\ll (i-1,-2i,2)_{\mathcal{C}},(-i,0,3-2i)_{\mathcal{C}} \gg=$
$=(i-1)i-2(3+2i)=5+3i \neq 0$;
ed avremo che $\mathbf{v}$ non è ortogonale a $\mathbf{W}$.
Punto c)
Riportiamo la formula per trovare i coefficienti di Fourier

\begin{displaymath}\mathbf{v}=\frac{f(\mathbf{v},\mathbf{w}_{1})}{f(\mathbf{v},\... ...{v},\mathbf{w}_{2})}{f(\mathbf{v},\mathbf{v})}\mathbf{w}_{2}; \end{displaymath}

quindi si trova che
$\ll \mathbf{v},\mathbf{w}_{1}\gg=5+3i$,
$\ll \mathbf{v},\mathbf{w}_{2}\gg=i-1-2i^2-4=-7+i$,
$\ll \mathbf{v},\mathbf{v}\gg=(i-1)(-1-i)-2i(2i)+4=10$;
allora

\begin{displaymath}\mathbf{v}=\frac{5+3i}{10}\mathbf{w}_{1}+\frac{-7+i}{10}\mathbf{w}_{2}. \end{displaymath}