Vettori isotropi

Definizione 2.1   Un vettore $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ è isotropo rispetto a $f \in Bil(\mathbf{V})$ se $f(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$; cioè se, data $q$, forma quadratica associata ad $f$, si ha $q(\mathbf{v})= 0$, o, equivalentemente, se $\mathbf{v} \in \mathbf{v}^{\perp}$.

Questa definizione è interessante per le forme non degeneri, infatti se $f$ è degenere è sempre dotata di vettori isotropi.
Il luogo dei vettori isotropi non è un sottospazio vettoriale poiché non è chiuso rispetto la somma.
Rispetto alla moltiplicazione abbiamo che:
Se $\mathbf{v}$ è isotropo (risp. non isotropo) per $f$, allora
$\forall \lambda \in K, \lambda \mathbf{v}$ è isotropo (risp. $\forall \lambda \in K^{*}, \lambda \mathbf{v}$ non è isotropo) per $f$.
Infatti se $f(\mathbf{v},\mathbf{v})=0 \,$ allora $\, f(\lambda \mathbf{v},\lambda \mathbf{v})= \lambda^{2}f(\mathbf{v},\mathbf{v})= 0$, quindi il sottospazio $<\mathbf{v}>$ è costituito da tutti elementi isotropi.
Se $\mathbf{v}$ non è isotropo, invece, dato $\mathbf{w}\in\mathbf{V}$, vogliamo trovare $k \in K $ tale che
$\mathbf{w}-k\mathbf{v} \perp \mathbf{v}$.
Questo vuol dire che $f(\mathbf{v},\mathbf{w}-k\mathbf{v})=0$, e quindi, per la linearità di $f$ avremo
$f(\mathbf{v},\mathbf{w})-kf(\mathbf{v},\mathbf{v})=0,$ da cui ricaviamo:

\begin{displaymath}\forall \mathbf{w} \in \mathbf{V}, \quad k=\frac{f(\mathbf{v}... ...tale che }\,\, \mathbf{w}-k\mathbf{v} \in \mathbf{v}^{\perp}. \end{displaymath}

Arriviamo quindi a dedurre che se $\mathbf{v}$ non è isotropo per $f$, possiamo scrivere ogni vettore di $\mathbf{V}$ come somma di un multiplo di $\mathbf{v}$ e di un vettore perpendicolare a $\mathbf{v}$, cioè:

Proposizione 2.2   $\forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}$, se $\mathbf{v}$ non è isotropo per la forma $f$, avremo:
$\mathbf{V} = <\mathbf{v}> \oplus \, \mathbf{v}^{\perp}$.

Dimostrazione

Definizione 2.3   Lo scalare $k$ è detto coefficiente di Fourier di $\mathbf{w}$ rispetto $\mathbf{v}$.

Riepilogando:
Sia $\mathbf{w} \in \mathbf{V}, \,\, \mathbf{v}$ non isotropo, cioè $f(\mathbf{v},\mathbf{v})\neq 0$; allora $\mathbf{w}$ si può scomporre in modo unico come:

 \begin{displaymath} \mathbf{w}=\underbrace{\frac{f(\mathbf{v},\mathbf{w})}{f(\... ...hbf{v},\mathbf{v})}\mathbf{v} \Big)}_{\in \mathbf{v}^{\perp}} \end{displaymath} (1)