Esempi

1.
Consideriamo il prodotto scalare standard su $\mathbf{R}^{n}$: questo è privo di vettori isotropi, infatti preso $\mathbf{v}=(x_{1}, \ldots, x_{n})$,

\begin{displaymath}f(\mathbf{v},\mathbf{v})= \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 =0 \quad \Le... ...\quad i=1,\ldots ,n \quad \Leftrightarrow \, \, \mathbf{v}=0. \end{displaymath}

2.
Il prodotto scalare standard su $\mathbf{C}^{n}$, invece, ammette vettori isotropi:
se prendiamo $\mathbf{v}=(3,4,5i)$, allora $f(\mathbf{v},\mathbf{v})=9+16-25=0$.

3.
Consideriamo in $\mathbf{R}^{3}$ il prodotto scalare standard e fissiamo il vettore $\mathbf{v}=(1,0,0)$. Prendiamo il vettore $\mathbf{w}=(2,1,0)$ e cerchiamo la sua scomposizione in $\mathbf{R}^{3}=<\mathbf{v}> \oplus \mathbf{v}^{\perp}$.
Se applichiamo la formula (1) trovata precedentemente, otteniamo:
$\mathbf{w}= \frac{2}{1}(1,0,0)+ \big( (2,1,0)-\frac{2}{1} (1,0,0) \big)= \underbrace{2(1,0,0)}_{\in <\mathbf{v}>}+\underbrace{(0,1,0)}_{\in \mathbf{v}^{\perp}}$