Esercizi

1.
Si consideri
$f:\mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}, \qquad f(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}.$
Si determini un vettore $\mathbf{v}$ non nullo e isotropo tale che $\dim (\mathbf{v}^{\perp})=3$, un vettore $\mathbf{u}$ non isotropo tale che $\dim(\mathbf{u}^{\perp})=2$, e si provi che il vettore $\mathbf{w}=(1,1,0)$ è isotropo e tale che $\dim (\mathbf{w}^{\perp})=2$.
È possibile trovare un vettore $\mathbf{v}_{1}$ non isotropo e tale che $\dim(\mathbf{v}_{1}^{\perp})=3$?

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Soluzione
I passo:
Abbiamo già calcolato nell'esercizio (1.2) al punto 1 che $(\mathbf{R}^3)^{\perp}=<(0,0,1)>$.
Ora prendiamo un vettore isotropo che appartenga a quel sottospazio, per esempio, $\mathbf{v}=(0,0,1)\neq \mathbf{0}\,$, infatti $f((0,0,1),(0,0,1))=0$ . Inoltre $\mathbf{v}^{\perp}=\mathbf{R}^3$, perché $\mathbf{v}^{\perp}=((\mathbf{R}^3)^{\perp})^{\perp}$; in dettaglio:
$\forall \mathbf{y}=(y_{1},y_{2},y_{3}) \in \mathbf{R}^3, \,\, f((0,0,1),\mathbf{y})=0 \,$ (perché $0y_{1}-0y_{2}=0$);
ciò implica che $\dim \mathbf{v}^{\perp}= \dim \mathbf{R}^3=3$.
II passo:   .
Per il secondo caso, prendiamo un qualsialsi vettore non isotropo, ad esempio $\mathbf{u}=(0,1,0)$, allora
$\mathbf{u}^{\perp}=\lbrace \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \mathbf{R}^3 \, \... ...(x_{1},0,x_{3}) \in \mathbf{R}^3 \, \vert \, x_{1},x_{3} \in \mathbf{R} \rbrace$
quindi $\mathbf{u}^{\perp}=<(1,0,0),(0,0,l)>$ che è un sottospazio di dimensione 2 perché generato da due vettori linearmente indipendenti.
III passo:   .
Proviamo che $\mathbf{w}$ è isotropo:
$f(\mathbf{w},\mathbf{w})=1-1=0$.
Inoltre $\mathbf{w}^{\perp}=\lbrace \mathbf{y} \in \mathbf{R}^3 \, \vert \, f(\mathbf{w}... ...ce = \lbrace (y_{1},y_{1},y_{3}) \, \vert \, y_{1},y_{3} \in \mathbf{R} \rbrace$.
Quindi $ \mathbf{w}^{\perp}=<(1,1,0),(0,0,1)>$ ha dimensione 2.
IV passo:   .
Infine, la quarta richiesta è impossibile da soddisfare, perché
se $\mathbf{v}_{1}^{\perp}= \mathbf{R}^3 \quad \Rightarrow \quad f(\mathbf{v}_{1},\mathbf{y})=0, \quad \forall \mathbf{y} \in \mathbf{R}^3$,
ma questo implicherebbe che $f(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1})=0$ perché $\mathbf{v}_{1} \in \mathbf{R}^3$, quindi $\mathbf{v}_{1}$ dovrebbe essere un vettore isotropo; e questo contraddice le ipotesi.