Data una base
di
,
l'intersezione dei sottospazi ortogonali a ogni elemento di
genera il sottospazio ortogonale a tutto
:
Proposizione 3.1
Sia
un sottospazio vettoriale di
e sia
base di
,
allora
.
>
Dimostrazione
Abbiamo già visto che il sottospazio perpendicolare a una forma non degenere si riduce al solo sottospazio nullo, quindi si dice anche che
è non degenere se
Osservazione 3.2
Sia
una base di
,
allora la matrice
ha rango massimo
se e solo se
è quindi non singolare.
>
Osservazione 3.3
Può capitare che data
non degenere su
e
,
la restrizione di
a
possa essere degenere.
>
Esempio
Presa
non degenere su uno spazio
di dimensione finita
sottospazio di
di dimensione ,
vogliamo determinare quale sia la dimensione del coniugato di
.
Proposizione 3.4
Sia
non degenere e
Allora
>
Dimostrazione
Se
non contiene vettori isotropi non nulli, si ha
e dalla proposizione precedente e dalla formula di Grassmann vettoriale segue che
In particolare,
è detto complemento ortogonale di
.