Coniugato di una forma non degenere

$\qquad$ Data una base $\mathcal{B}$ di $\mathbf{U} \subset \mathbf{V}$, l'intersezione dei sottospazi ortogonali a ogni elemento di $\mathcal{B}$ genera il sottospazio ortogonale a tutto $\mathbf{U}$:

Proposizione 3.1   Sia $\mathbf{U}$ un sottospazio vettoriale di $\mathbf{V}$ e sia $(\mathbf{u}_{1},\ldots,\mathbf{u}_{t})$ base di $\mathbf{U}$, allora
$\mathbf{U}^{\perp}= \mathbf{u}_{1}^{\perp} \cap \ldots \cap \mathbf{u}_{t}^{\perp}$.

Dimostrazione

Abbiamo già visto che il sottospazio perpendicolare a una forma non degenere si riduce al solo sottospazio nullo, quindi si dice anche che $f$ è non degenere se
$f(\mathbf{u},\mathbf{v})=0, \quad \forall \mathbf{u} \in \mathbf{V} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}=0.$

Osservazione 3.2   Sia $\mathcal{D}$ una base di $\mathbf{V}$, allora la matrice $Mat(f,\mathcal{D})$ ha rango massimo $(=n)$ se e solo se $\mathbf{V}^{\perp}=<0>; Mat(f,\mathcal{D})$ è quindi non singolare.

Osservazione 3.3   Può capitare che data $f$ non degenere su $\mathbf{V}, \,$ e $\, \mathbf{U} \subset \mathbf{V}$, la restrizione di $f$ a $\mathbf{U} \times \mathbf{U}$ possa essere degenere.

Esempio

Presa $f$ non degenere su uno spazio $\mathbf{V}$ di dimensione finita $n, \,\, \mathbf{U}$ sottospazio di $\mathbf{V}$ di dimensione $p$, vogliamo determinare quale sia la dimensione del coniugato di $\mathbf{U}$.

Proposizione 3.4   Sia $f$ non degenere e $\mathbf{U} \subset \mathbf{V}.$ Allora
$ \dim \, \mathbf{U}^{\perp} = \dim \, \mathbf{V} - \dim \, \mathbf{U} = n - \dim \, \mathbf{U}.$

Dimostrazione

Se $\mathbf{U}$ non contiene vettori isotropi non nulli, si ha $\mathbf{U} \cap \mathbf{U}^{\perp}= <0>$ e dalla proposizione precedente e dalla formula di Grassmann vettoriale segue che
$\mathbf{V}= \mathbf{U} \oplus \mathbf{U}^{\perp}$
In particolare, $\mathbf{U}^{\perp}$ è detto complemento ortogonale di $\mathbf{U}$.