Esempi

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1.
Posto $\mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}, \, \, \mathbf{U}=<\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}>$ , ove $\, \mathbf{u}_{1}=(1,0,1),\mathbf{u}_{2}=(3,0,0) \, \, (\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \,\,$ sono linearmente indipendenti) e data la matrice non degenere

$\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{array}; \end{displaymath}$

vogliamo calcolare $\mathbf{U}^{\perp}$ .
Iniziamo a calcolare $\mathbf{u}_{1}^{\perp} \quad e \quad \mathbf{u}_{2}^{\perp}$ .

$\begin{displaymath}\mathbf{u}_{1}^{\perp}= \lbrace (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \math... ...}({c}) x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} = 0 \rbrace = \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\lbrace (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \mathbf{R}^{3} \vert \begi... ...ay}({c}) x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} =0 \rbrace \end{displaymath}$

da cui otteniamo:
$2x_{1}=0$ ;

$\begin{displaymath}\mathbf{u}_{2}^{\perp}= \lbrace (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \math... ...}({c}) x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} = 0 \rbrace = \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= \lbrace (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \mathbf{R}^{3} \vert \beg... ...ray}({c}) x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} =0 \rbrace \end{displaymath}$

da cui otteniamo
$3x_{1}+3x_{3}=0$ .
Dalla loro intersezione ricaviamo $\mathbf{U}^{\perp}$ , che sarà definito da:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} 2x_{1}=0 \\ 3x_{1}+3x_{3}=0 \end{array} \right. . \end{displaymath}$

Si ha che $\dim \, \mathbf{U} =2$ poiché la sua base è formata da 2 vettori linearmente indipendenti, mentre per $\mathbf{U}^{\perp}$ sappiamo che due equazioni cartesiane indipendenti in $\mathbf{R}^{3}$ individuano un sottospazio di dimensione 1; tale dimensione è quella aspettata, poiché:
$\dim \, \mathbf{U}^{\perp} = \dim \, \mathbf{V} - \dim \, \mathbf{U}= 3-2=1$ .

2.
Prendiamo su $\mathbf{R}^{3}$ la forma bilineare simmetrica associata alla matrice:

$\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 &1\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & 2 &3 \end{array}. \end{displaymath}$

Vogliamo determinare $(\mathbf{R}^3)^{\perp}$ .
Lo spazio dei vettori ortogonali a $\mathbf{R}^{3}$ rispetto a è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti è la stessa , che è equivalente al sistema:

$\begin{displaymath}\left \{ \begin{array}{l} x+z=0\\ y+z=0 \end{array} \right. , \end{displaymath}$

che ci dà:
$(\mathbf{R}^3)^{\perp}=\{ (-z,-z,z)\, \vert \, z \in \mathbf{R} \}$ .

Teoria