Norma di un vettore

Definizione 2.1   Sia $\mathbf{v} \in \mathbf{E}$, la norma o lunghezza di $\mathbf{v}$ è
$\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$.

Usando la norma, la disuguaglianza di Schwartz diventa:
$\vert\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \vert \leq \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert \cdo... ...t\vert\mathbf{w}\vert\vert, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$.

Proposizione 2.2   L'applicazione norma
$\vert\vert . \vert\vert:\mathbf{E} \rightarrow \mathbf{R}$
$\qquad \mathbf{v} \rightarrow \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert$
gode delle seguenti proprietá metriche:
1.
$\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert \geq 0, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{E} ... ...textrm {e} \quad \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=0 \Leftrightarrow \mathbf{v}=0;$
2.
$\vert\vert \alpha \mathbf{v}\vert\vert= \vert\alpha\vert \, \vert\vert\mathbf{v... ...t, \quad \forall \alpha \in \mathbf{R},\quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{E};$
3.
$\vert\vert\mathbf{v}+\mathbf{w}\vert\vert \leq \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert+\... ...mathbf{w}\vert\vert, \quad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}. \quad $ (Disuguaglianza triangolare)
Inoltre vale l'uguaglianza $\Leftrightarrow \mathbf{v},\mathbf{w}$ sono linearmente dipendenti.
4.
Vale la legge del parallelogramma:
$\vert\vert\mathbf{u}+\mathbf{v}\vert\vert^2+\vert\vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\vert\vert^2 = 2\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert^2+2\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert^2$.

Dimostrazione

La coppia $\,(\mathbf{E},\vert\vert.\vert\vert)\,$ si dice spazio normato reale.
Iniziamo adesso a definire alcuni concetti più "geometrici", associati alle nozioni di algebra lineare introdotte fin qui.
Tramite la funzione norma si definisce, in uno spazio euclideo, la distanza fra due vettori:

\begin{displaymath}d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\vert\vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\vert\vert, \qquad \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbf{E}, \end{displaymath}

che ne eredita tutte le proprietà.