Esercizi

1.
Nello spazio euclideo $\mathbf{R}^3$ con il prodotto scalare standard, calcolare la norma dei seguenti vettori e la distanza fra loro:
a)
$\mathbf{u}=(2,0,1), \quad \mathbf{v}=(0,3,-2)$;
b)
$\mathbf{u}=(1,1,1), \quad \mathbf{v}=(-4,0,3)$;
c)
$\mathbf{u}=(5,10,0), \quad \mathbf{v}=(-3,2,7)$.

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Soluzione
I passo:
Per calcolare la norma di un vettore con il prodotto scalare standard, basta trovare la radice della somma dei quadrati delle coordinate del vettore, cioè:
a)
$\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}, \quad \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$;
b)
$\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}, \quad \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$;
c)
$\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=15, \quad \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{9+4+49}=\sqrt{62}$.
II passo:  
Per calcolare la distanza di due vettori con il prodotto scalare standard, invece, basta trovare la radice della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate dei vettori, cioè:
a)
$\vert\vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{(2-0)^2+(0+3)^2+(1-2)^2}=\sqrt{14}$;
b)
$\vert\vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{(1+4)^2+(1-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{30}$;
c)
$\vert\vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{(5+3)^2+(10-2)^2+(0-7)^2}=\sqrt{177}$.