Operatore aggiunto

Proposizione 8.1   Sia $f \in End(\mathbf{E}), \,$ allora $\, \exists ! $ un'applicazione $g \in End(\mathbf{E})$ tale che
$f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}=\mathbf{v} \cdot g(\mathbf{w}), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$.
L'operatore g si dice trasposto o aggiunto di f.

Dimostrazione

Proposizione 8.2   Di solito $g$ si denota con $f^{*}$ e, poiché il prodotto scalare è simmetrico, $(f^{*})^{*}=f$; allora diremo che $f, f^{*}$ sono reciprocamente aggiunti.

Dimostrazione

Osservazione 8.3   È facile verificare che, date $f,g \in End(\mathbf{E}), \, k \in K$,
1.
$(f \circ g)^{*}= g^{*} \circ f^{*}$
2.
$(f + g)^{*}= f^{*} + g^{*}$
3.
$(k f)^{*}= k f^{*}$
4.
$id_{\mathbf{E}}^{*}=id_{\mathbf{E}}$

Definizione 8.4   Sia $f \in End(\mathbf{E}); f$ è detto simmetrico o autoaggiunto se
$f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = f(\mathbf{w}) \cdot \mathbf{v}, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$;
cioè se $f=f^{*}$.
Si dice invece che $f$ è antisimmetrico se $f=-f^{*}$.

Per quanto detto, possiamo dedurre che ogni endomorfismo autoaggiunto è associato ad una matrice simmetrica rispetto ad una base ortonormale, cioè:

Proposizione 8.5   Sia $\mathcal{B}$ una base ortonormale, allora
$ f \in End(\mathbf{E})$ è simmetrico $ \quad \Leftrightarrow \quad M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica.

Dimostrazione

Dall'analisi sviluppata fin qui, possiamo caratterizzare gli operatori unitari in questo modo:

Proposizione 8.6   Un operatore $f: \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{E}$ è unitario se e solo se
$f \circ f^{*}=1_{\mathbf{E}}$

Dimostrazione

In conclusione, ricordiamo quindi che gli operatori unitari sono essenzialmente isomorfismi che conservano la struttura metrica dello spazio vettoriale euclideo (sono quelli che geometricamente si indicano con isometrie).