Esercizi

Dati i due endomorfismi
$f:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3, \quad f(x,y,z)=(2x-y,-x+3y+2z,2y)$;
$g:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3, \quad g(x,y,z)=(3x+y,y,y+3z)$.
a)
Dimostrare che $f$ è autoaggiunto.
b)
Costruire l'endomorfismo $h$ aggiunto di $g$ e verificare che, presi $\mathbf{v}=(1,0,-1), \, \mathbf{w}=(-2,3,5), \quad \mathbf{v}g(\mathbf{w})=h(\mathbf{v})\mathbf{w}$.
c)
Verificare che $(f \circ g)^{*}=g^{*} \circ f^{*} \,$ e $\, (f + g)^{*}=f^{*} + g^{*}$.
d)
È vero che $f \circ f^{*}=1_{\mathbf{R}^3}$?
e)
Se prendiamo la base $\mathcal{B}=(2,1,0),(0,0,1),(-1,0,0)), \,\, M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica? Perché?

Vuoi un aiuto?
Per vedere la soluzione totale, clicca , oppure clicca per visualizzare ogni singolo passo della soluzione.

Punto a)
L'endomorfismo $f$ è autoaggiunto se $f=f^{*}$, quindi se, rispetto ad una base ortonormale, la matrice associata è simmetrica.
Prendiamo la base canonica, allora

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(f)= \begin{array}({ccc}) 2 & -1 & 0\\ -1 & 3 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array} \end{displaymath}

è simmetrica, quindi $f$ è autoaggiunto.
Punto b)  
I passo:
La matrice associata di $g$ rispetto alla base canonica è:

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(g)= \begin{array}({ccc}) 3 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{array}, \end{displaymath}

quindi $M_{\mathcal{E}}(g^{*})$ sarà uguale alla sua trasposta:

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(g^{*})= \begin{array}({ccc}) 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \end{displaymath}

e l'endomorfismo $h$ sarà definito da:
$h:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3, \quad h(x,y,z)=(3x,x+y+z,3z)$.
II passo:  
Verifichiamo l'espressione:
$(1,0,-1)\cdot g(-2,3,5)=(1,0,-1)\cdot (-3,3,18)=-3-18=-21$,
$h(1,0,-1)\cdot (-2,3,5)=(3,0,-3)\cdot (-2,3,5)=-6-15=-21$.
Punto c)  
I passo:
$(f \circ g)^{*}=(2(3x+y)-y,-(3x+y)+3y+2(y+3z),2y)^{*}=(6x+y,-3x+4y+6z,2y)^{*}=(6x-3y,x+2y+2z,6y)$,
$g^{*} \circ f^{*}=h \circ f^{*}=(3(2x-y),2x-y-x+3y+2z+2y,6y)=(6x-3y,x+2y+2z,6y).$
II passo:  
$(f + g)^{*}=((2x-y,-x+3y+2z,2y)+(3x+y,y,y+3z))^{*}=(5x,-x+4y+2z,3y+3z)^{*}=(5x-y,4y+3z,2y+3z)$,
$f^{*} + g^{*}=f+h=(2x-y,-x+3y+2z,2y)+(3x,x+y+z,3z)=(5x-y,4y+3z,2y+3z)$.
Punto d)
Senza svolgere i calcoli, si può affermare che $f \circ f^{*}\neq 1_{\mathbf{R}^3}$ poiché $f$ non è un endomorfismo unitario.
Punto e)
La matrice risultante non è simmetrica perché la base $\mathcal{B}$ non è ortonormale.