Proposizione 6.1
Sia
uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita .
Sia
è detto unitario se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:
1.
;
cioè
conserva il prodotto scalare;
2.
;
cioè
conserva la norma;
3.
se
è una base ortonormale per
,
allora
è una base ortonormale per
.
Quindi in particolare
.
4.
esiste una base ortonormale
tale che
sia una base ortonormale per
.
>
Dimostrazione
Un operatore unitario
conserva quindi la norma dei vettori, e ciò implica che se
è unitario e
allora
.
Quindi
lascia fisso il vettore nullo e conserva la distanza fra i vettori.
Viceversa possiamo dimostrare che se un'applicazione possiede queste caratteristiche, è un endomorfismo.
Teorema 6.2
Sia
una applicazione di insiemi, allora sono equivalenti: