Endomorfismi unitari

Proposizione 6.1   Sia $\mathbf{E}$ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita $n$. Sia $f \in End(\mathbf{E}); \, f$ è detto unitario se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:
1.
$f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w})=\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$ ;
cioè $f$ conserva il prodotto scalare;
2.
$\vert\vert f(\mathbf{v})\vert\vert= \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert, \qquad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{E}$;
cioè $f$ conserva la norma;
3.
se $\mathcal{B}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ è una base ortonormale per $\mathbf{E}$, allora $(f(\mathbf{v}_{1}), \ldots,f(\mathbf{v}_{n}))$ è una base ortonormale per $\mathbf{E}$.
Quindi in particolare $f \in GL(\mathbf{E})$.
4.
esiste una base ortonormale $(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ tale che $(f(\mathbf{v}_{1}), \ldots,f(\mathbf{v}_{n}))$ sia una base ortonormale per $\mathbf{E}$.

Dimostrazione

Un operatore unitario $f$ conserva quindi la norma dei vettori, e ciò implica che se $f$ è unitario e $f(\mathbf{v})=0 \,$ allora $\, \mathbf{v}=0$. Quindi $f$ lascia fisso il vettore nullo e conserva la distanza fra i vettori.
Viceversa possiamo dimostrare che se un'applicazione possiede queste caratteristiche, è un endomorfismo.

Teorema 6.2   Sia $f: \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{E}$ una applicazione di insiemi, allora sono equivalenti:
1.
$f$ è un endomorfismo unitario;
2.
$f(\mathbf{0})=\mathbf{0} \quad $e $ \quad \vert\vert f(\mathbf{v})-f(\mathbf{w})\vert\vert=\vert\vert\mathbf{v}-\mathbf{w}\vert\vert \quad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$.

Dimostrazione