Esercizi

Quale dei seguenti endomorfismi è unitario?
a)
$f:\mathbf{R}^3 \rightarrow\mathbf{R}^3, \quad f(x,y,z)=(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y,z,\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y)$;
b)
$f:\mathbf{R}^3 \rightarrow\mathbf{R}^3, \quad f(x,y,z)=(\frac{2}{3}x+y,-\frac{1}{3}x)$;
c)
$f:\mathbf{R}^3 \rightarrow\mathbf{R}^3, \quad f(x,y,z)=(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y,\frac{1}{\sqrt{3}}x,z-1)$.
In ciascun caso, giustificare la risposta.
Vuoi un aiuto?
Per vedere la soluzione totale, clicca , oppure clicca per visualizzare ogni singolo passo della soluzione.

Punto a)
L'endomorfismo è unitario perché $f$ conserva la norma: $\vert\vert f(x,y,z)\vert\vert=\vert\vert(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y,z,\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y)\vert\vert=$
$=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y)^2+z^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y)^2}=$
$=\sqrt{(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+xy+z^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2-xy)}=$
$=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\vert\vert(x,y,z)\vert\vert$.
Punto b)  
L'endomorfismo non è unitario perché $f$ non conserva il prodotto scalare, infatti, presi i vettori della base canonica:
$f((1,0),(0,1))=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\cdot (1,0)=\frac{2}{3}$,
mentre $(1,0)\cdot (0,1)=0$.
Punto c)  
L'endomorfismo non è unitario perché non è lineare, infatti
$f(0,0,0)=(0,0,-1)\neq\mathbf{0}$.