Rappresentazione geometrica dei vettori

Osservazione 5.1   Sia $\mathcal{B}=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{n})_{\mathcal{B}}$ una base ortonormale;
per quanto detto sulla proiezione ortogonale dei vettori su un sottospazio, avremo
$\forall \mathbf{v} \in \mathbf{E}, \quad \mathbf{v}=(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}}, \quad \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{i}=x_{i}$.
Quindi dato un vettore $\mathbf{w} \in \mathbf{E}, \, \mathbf{w}=(\mathbf{w} \cdot \mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+\cdots+(\mathbf{w} \cdot \mathbf{e}_{n})\mathbf{e}_{n}, \quad $ e la sua norma diventa:

\begin{displaymath}\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert=\sqrt{(\mathbf{w} \cdot \mathbf{e}_{1})^{2}+\cdots+(\mathbf{w} \cdot \mathbf{e}_{n})^{2}}. \end{displaymath}

Ora sappiamo proiettare un vettore su uno spazio; calcoliamone quindi la sua scomposizione:

Proposizione 5.2   Sia $\mathbf{W} \neq <0>$ un sottospazio vettoriale di uno spazio euclideo $\mathbf{E}$; allora
1.
$\mathbf{E}=\mathbf{W} \oplus \mathbf{W}^{\perp}$;
2.
Se $\mathbf{v} \in \mathbf{E}, \quad$ e se $(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{t})$ è base ortonormale di $\mathbf{W}$, allora ogni vettore si può decomporre in modo unico come

 \begin{displaymath} \mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}', \qquad \mathbf{w} \in \mathbf{W}, \, \mathbf{w}' \in \mathbf{W}^{\perp}, \end{displaymath} (3)

dove $ \mathbf{w}=(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+\cdots+(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{t})\mathbf{e}_{t}$.
Il vettore $ \mathbf{w}$ è la proiezione ortogonale di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$, mentre il vettore $\mathbf{w}'=\mathbf{v}-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}-\cdots-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{t})\mathbf{e}_{t}$ è la perpendicolare di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}^{\perp}$.
Inoltre vale la relazione
$\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert^{2}= \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^{2}+\vert\vert\mathbf{w}'\vert\vert^{2} \qquad $(identità di Pitagora).

Dimostrazione

Grazie alla disuguaglianza di Schwartz, possiamo introdurre il concetto di angolo convesso di due vettori non nulli:

Definizione 5.3   Siano $\mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}, \mathbf{v} \neq 0, \mathbf{w} \neq 0$;
dalla disuguaglianza di Schartz avremo che: $0< \vert\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\vert \leq \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert \cdot \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert$

\begin{displaymath}\textrm{quindi} \quad \big \vert\frac{\mathbf{v} \cdot \mathb... ...thbf{v}\vert\vert \, \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert} \leq 1. \end{displaymath}

Esiste quindi un unico $\theta, \, 0 \leq \theta \leq \pi, \quad$ tale che:

\begin{displaymath}\cos \theta = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert \, \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert}. \end{displaymath}

L' angolo convesso (o non orientato) formato dai vettori $\mathbf{v},\mathbf{w}$ è per definizione:

\begin{displaymath}\theta = \arccos \big( \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\ve... ...athbf{v}\vert\vert \, \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert} \big) , \end{displaymath}

dove $\quad \quad \cos :[0,\pi] \rightarrow [-1,1]\,$, con inversa $\,\, \arccos : [-1,1] \rightarrow [0,\pi]$.

Dalla sua espressione, notiamo che $\theta$ non dipende dall'ordine dei vettori nel prodotto scalare, inoltre osserviamo che
1.
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \theta = \frac{1}{2} \pi$;
(che rientra nel concetto di ortogonalità della geometria euclidea:
due vettori sono perpendicolari quando l'angolo fra di loro è un angolo retto).
2.
$\cos \theta = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \,$ se i vettori sono versori.