Esempi

1.
Consideriamo il prodotto scalare standard su $\mathbf{R}^3$ e il sottospazio $\mathbf{W}:=<(0,0,3),(-3,4,0)>$. Per determinare la proiezione ortogonale del vettore $\mathbf{v}=(5,10,2)$ su $\mathbf{W}$, prendiamo una base ortonormale di $\mathbf{W}$: per procedere in modo semplice e efficace, possiamo prendere la base formata dai vettori linearmente indipendenti che generano il sottospazio , $\mathcal{B}=((0,0,3),(-3,4,0))$, e, poiché è già ortogonale, normalizzarla; quindi otteniamo $\mathcal{C}=((0,0,1),\frac{1}{5}(-3,4,0))$.
Applicando la formula (3), abbiamo che la proiezione ortogonale risulta essere:
$\mathbf{w}=2(0,0,1)+\frac{1}{5}(-3+8)(-3,4,0)=(-3,4,2)$,
mentre la perpendicolare a $\mathbf{W}$ sarà:
$\mathbf{w}'=\mathbf{v}-\mathbf{w}=(5,10,2)-(-3,4,2)=(8,6,0)$.

2.
Dato su $\mathbf{R}^3$ il prodotto scalare standard, vogliamo calcolare l'angolo $\theta$ fra i vettori

\begin{displaymath}\mathbf{v}=(1,0,0), \quad \mathbf{w}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0). \end{displaymath}

Allora si ha che:

\begin{displaymath}\theta=\arccos (\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 \cdot 1})=\arccos (\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\pi}{4}. \end{displaymath}