Esercizi

1.
Date le equazioni cartesiane del sottospazio vettoriale $\mathbf{W} \,$ di $\, \mathbf{R}^4$ con il prodotto scalare standard,

\begin{displaymath}\left \{ \begin{array}{l} y+z=0\\ 2x-y+t=0 \end{array} \right. , \end{displaymath}

calcolare come si decompone $\mathbf{R}^4=\mathbf{W}\oplus\mathbf{W}^{\perp}$ e la proiezione del vettore $\mathbf{v}=(0,3,2,-1)$ su $\mathbf{W}^{\perp}$.

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Soluzione
I passo:
Calcoliamo una base per $\mathbf{W}$:
$\mathbf{W}= \{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \, \vert \, y+z=0, 2x-y+t=0 \}=$
$=\{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \, \vert \, y=2x+t, z=-y \}$,
allora $\mathbf{W}=<(1,2,-2,0),(0,1,-1,1)>$, e una base per $\mathbf{W}$ sarà
$\mathcal{B}=((1,2,-2,0),(0,1,-1,1))$.
Per determinare $\mathbf{W}^{\perp}$, basta trovare le equazioni che risolvono il sistema omogeneo:

\begin{displaymath}\begin{array}({cccc}) 1 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 \en... ...ray} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z\\ t \end{array}=0, \end{displaymath}

quindi

\begin{displaymath}\mathbf{W}^{\perp}:=\left\{ \begin{array}{l} x+2y-2z=0\\ y-z+t=0 \end{array} \right.. \end{displaymath}

Svolti i dovuti calcoli, avremo $\mathbf{W}^{\perp}=<(-2,1,0,-1),(2,0,1,1)>$, perciò la decomposizione di $\mathbf{R}^4$ sarà
$\mathbf{R}^4=<(1,2,-2,0),(0,1,-1,1)>\oplus <(-2,1,0,-1),(2,0,1,1)>$,
infatti i quattro vettori sono fra loro linearmente indipendenti, quindi generano tutto $\mathbf{R}^4$ e in più ne formano anche una base.
II passo:  
Per calcolare la proiezione ortogonale di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}^{\perp}$, prendiamo una base ortonormale del sottospazio partendo da quella fornita dai vettori che lo generano; normalizziamo il primo vettore:
$\mathbf{w}_{1}=\frac{(1,2,-2,0)}{\sqrt{6}}$;
e calcoliamo
$\mathbf{w}_{2}=(0,1,-1,1)-\frac{1}{\sqrt{6}}(2+2)\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-2,0)=\frac{1}{3}(-2,-1,1,3)$;
che normalizzato diventa $\mathbf{w}_{2}=\frac{1}{\sqrt{15}}(-2,-1,1,3)$.
Quindi, considerata la base ortonormale $\mathcal{C}=(\frac{(1,2,-2,0)}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{15}}(-2,-1,1,3))$, applicando la formula (3), si ottiene la proiezione ortogonale:
$\mathbf{w}=\frac{1}{\sqrt{16}}(6-4)\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-2,0)+\frac{1}{\sqrt{15}}(-3+2-3)\frac{1}{\sqrt{15}}(-2,-1,1,3)=\frac{1}{\sqrt{15}}(13,14,-14,-12)$.