Definizione 3.1
Nel caso reale, la coppia
si dice segnatura di
(o anche di ).
Sia
un
-spazio vettoriale di dimensione finita .
Una forma bilineare simmetrica, così come la sua forma associata, di rango
e segnatura
si dice:
definita positiva
se
definita negativa
se
semidefinita positiva
se
semidefinita negativa
se
indefinita
negli altri casi
>
La stessa terminologia si usa per una matrice
,
cioè
A è definita positiva se A è congruente a
A è definita negativa se A è congruente a
A è semidefinita positiva se A è congruente a diag
A è semidefinita positiva se A è congruente a diag
A è indefinita se A è congruente a diag
e le forme canoniche corrispondenti ai diversi casi sono le stesse.
Dal teorema di Sylvester discende che ad ogni classe di congruenza delle matrici simmetriche reali di ordine
appartiene una matrice diagonale della forma definita sopra, quindi esiste una corrispondenza biunivoca fra le classi di matrici simmetriche definite sopra e le classi di congruenza di .
Proposizione 3.2
A è definita positiva se e solo se
tale che .
>
Dimostrazione
Queste classi di congruenza hanno una notevole importanza:
-
in geometria euclidea le matrici definite positive permettono di introdurre i concetti di natura metrica;
-
in fisica la forma quadratica in
,
che è non degenere con segnatura (3,1), si chiama forma di Minkowski.
è detto spazio di Minkowski e rappresenta lo "spazio-tempo" della teoria della relatività ristretta.