Classificazione delle forme quadratiche

Definizione 3.1   Nel caso reale, la coppia $(p,r-p)$ si dice segnatura di $q$ (o anche di $f$).
Sia $\mathbf{V} \,$ un $\mathbf{R}$-spazio vettoriale di dimensione finita $n$.
Una forma bilineare simmetrica, così come la sua forma associata, di rango $r \leq n$ e segnatura $(p,r-p), \quad p \geq 0, \, r-p \geq 0$ si dice:
definita positiva se $q(\mathbf{v})>0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0$ $(n,0)$ $x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}$  
definita negativa se $q(\mathbf{v})<0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0$ $(0,n)$ $-x_{1}^{2}-\cdots-x_{n}^{2}$  
semidefinita positiva se $q(\mathbf{v}) \geq 0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0$ $(r,0)$ $x_{1}^{2}+\cdots+x_{r}^{2}$  
semidefinita negativa se $q(\mathbf{v}) \leq 0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0$ $(0,r)$ $-x_{1}^{2}-\cdots-x_{n}^{2}$  
indefinita negli altri casi $(p,r-p)$ $x_{1}^{2}+\cdots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots-x_{r}^{2}$  

La stessa terminologia si usa per una matrice $A \in M_{n}^{s}(\mathbf{R})$, cioè
A è definita positiva se A è congruente a $I_{n}$
A è definita negativa se A è congruente a $-I_{n}$
A è semidefinita positiva se A è congruente a diag $(I_{r},0), \quad r < n $
A è semidefinita positiva se A è congruente a diag $(-I_{r},0), \quad r < n$
A è indefinita se A è congruente a diag $(I_{p},-I_{r-p},0), \quad 0 < p < r < n$
e le forme canoniche corrispondenti ai diversi casi sono le stesse.
Dal teorema di Sylvester discende che ad ogni classe di congruenza delle matrici simmetriche reali di ordine $n$ appartiene una matrice diagonale della forma definita sopra, quindi esiste una corrispondenza biunivoca fra le classi di matrici simmetriche definite sopra e le classi di congruenza di $M_{n}(K)$.

Proposizione 3.2   A è definita positiva se e solo se
$\exists \, M \in GL_{n}(\mathbf{R})$ tale che $A=M^{t}M$.

Dimostrazione

Queste classi di congruenza hanno una notevole importanza:
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in geometria euclidea le matrici definite positive permettono di introdurre i concetti di natura metrica;
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in fisica la forma quadratica in $\mathbf{R}^4$
$\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},t)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2-t^2$,
che è non degenere con segnatura (3,1), si chiama forma di Minkowski.
$(\mathbf{R}^4, \lambda )$ è detto spazio di Minkowski e rappresenta lo "spazio-tempo" della teoria della relatività ristretta.