Diagonalizzazione di matrici

$\qquad$ Abbiamo scoperto che, data $f\in Bils(\mathbf{V})$, esiste sempre una base diagonalizzante per $\mathbf{V}$.
Nei casi $K=\mathbf{R,C}$ disponiamo di risultati più precisi; in particolare se $K=\mathbf{C}$ (e nel caso più generale in cui il campo è algebricamente chiuso), abbiamo un enunciato più forte rispetto a $\mathbf{R}$:

Teorema 2.1   Sia $K=\mathbf{C}$ e sia $\mathbf{V} \,$ un $\,\mathbf{C}$-spazio vettoriale, $\dim \mathbf{V} =n \geq 1 \,$ e $f\in Bils(\mathbf{V})$. Allora esiste una base diagonalizzante $\mathcal{B}$ per $f$ tale che nella notazione a blocchi risulta:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{B})= \begin{array}({cc}) I_{r} & 0\\ 0 & 0 \end{array}, \end{displaymath}

dove $r=r(f)$.
Equivalentemente ogni matrice $A \in M_{n}^{s}(\mathbf{C})$ è congruente ad una matrice di questo tipo, con $r=r(A)$.

Teorema 2.2 (di Sylvester)   Sia $K=\mathbf{R}$ e sia $\mathbf{V} \,$ un $\mathbf{R}$-spazio vettoriale, $\dim \mathbf{V} =n \geq 1 \,$ e $f\in Bils(\mathbf{V})$ e $\, r=r(f)$. Allora esiste un intero non negativo $p \leq r \,$ che dipende solo da $f$ e una base diagonalizzante $\mathcal{B}$ per $f$ tale che nella notazione a blocchi risulta:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{B})= \begin{array}({ccc}) I_{p} & 0 &0\\ 0 & -I_{r-p} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}. \end{displaymath}

Equivalentemente ogni matrice $A \in M_{n}^{s}(\mathbf{R})$ è congruente a una matrice di questo tipo con $r=r(A) \,$ e $\, p$ che dipende solo da $A$.

Dimostrazione dei due teoremi

Definizione 2.3   Sia $\mathbf{V} \,$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione finita $n$, $K=\mathbf{R} \,$ o $\,\mathbf{C}$. Sia $f\in Bils(\mathbf{V})$ e sia $q$ la forma quadratica associata a $f$.
Sia $\mathcal{B}$ una base come nel primo teorema di Sylvester se $K=\mathbf{C}$ e come nel secondo teorema di Sylvester se $K=\mathbf{R}$. Allora si ha ponendo $r=r(f)$:
se $K=\mathbf{C}, \qquad q((x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathbb{B} }=x_{1}^{2}+\cdots+x_{r}^{2}$;
se $K=\mathbf{R}, \qquad q((x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathbb{B} }=x_{1}^{2}+\cdots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots-x_{r}^{2}$.
Questa espressione è detta forma canonica della forma quadratica complessa (risp. reale) $q$.