Basi diagonalizzanti

Definizione 1.1 Sia $\mathcal{C}$ una base $(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n})$ di $\mathbf{V}$ e $f\in Bil(\mathbf{V})$ tale che

$f(\mathbf{w}_{i},\mathbf{w}_{j})= 0 \quad$ per $i \neq j$ .

Una tale base con i vettori ortogonali fra loro è detta base ortogonale o diagonalizzante per la forma

(o anche per

Osservazione 1.2 Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

1.: $\mathcal{C}=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n})$ è una base diagonalizzante per
2.: $Mat(f,\mathcal{C})$ è diagonale
3.: $f((x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{C}},(y_{1},\ldots,y_{n})_{\mathcal{C}})= \sum_{i=1}^{n}b_{ii}x_{i}y_{i} \quad con \quad b_{ii}=q(\mathbf{v}_{i})$
4.: il polinomio che rappresenta nella base $\mathcal{C}$ è $\sum_{i=1}^{n}b_{ii}x_{i}^{2}$

Una base diagonalizzante non è unica, infatti se $\mathcal{B}= (\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ è una base diagonalizzante per

, allora anche ogni altra base ottenuta permutando i vettori di $(\lambda \mathbf{v}_{1},\ldots,\lambda \mathbf{v}_{n})$ , con $\lambda_{i} \neq 0, \lambda_{i} \in K$ è una base diagonalizzante per

. Inoltre

Sia $\mathbf{W} \subset \mathbf{V}$ e sia $f' =f\mid_{\mathbf{W} \times \mathbf{W}} \Rightarrow$ $f' \in Bils(\mathbf{W}) \,$ e $\, q\mid_{\mathbf{W}}$ è forma quadratica associata a .
Se non è la forma identicamente nulla allora non è identicamente nullo e quindi $\exists \, \mathbf{v} \in \mathbf{V}$ non isotropo per .

Il risultato principale di questa parte consiste nel risolvere il problema:
Data una funzione $g \in Bils(\mathbf{V})$ , esiste sempre una base diagonalizzante per

Teorema 1.3 Sia $\mathbf{V}$ un

-spazio vettoriale di $\dim \geq 1 \,$ e $\, f \in Bils(\mathbf{V})$ . Allora esiste una base diagonalizzante per

.
Equivalentemente: Ogni matrice $A \in M_{n}^{s}(K)$ è congruente ad una matrice diagonale.

Dimostrazione