Esercizi

1.
Determinare la forma canonica sia in $\mathbf{C}$ che in $\mathbf{R}$ delle seguenti forme quadratiche su $\mathbf{R}^4$:
a)
$q(x,y,z,t)=4t^2+2z^2+3x^2$,
b)
$q(x,y,z,t)=3x^2-2y^2+z^2-t^2$,
c)
$q(x,y,z,t)=5y^2-e^2z^2$.

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Soluzione
Punto a)
La matrice associata è:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({cccc}) 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &4 \end{array}, \end{displaymath}

quindi per il teorema di Sylvester, esiste una base diagonalizzante tale che nella notazione a blocchi la matrice sia congruente ad una matrice $A$ diagonale del tipo:
$A=diag(1,1,1,0)$;

pertanto la sua forma canonica sarà:
in $\mathbf{C}: \qquad x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2$;
in $\mathbf{R}: \qquad x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2$.
Procedendo in modo analogo per gli altri casi, otterremo:
Punto b)
La matrice è congruente ad una matrice diagonale del tipo:
$B=\begin{array}({cccc}) 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}$,
quindi la forma canonica diventa
in $\mathbf{C}: \qquad x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{4}^2$;
in $\mathbf{R}: \qquad x_{1}^2+x_{2}^2-x_{3}^2-x_{4}^2$.
Punto c)
La matrice è congruente ad una matrice diagonale del tipo:
$C=\begin{array}({cccc}) 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$,
quindi la forma canonica risulta
in $\mathbf{C}: \qquad x_{1}^2+x_{2}^2$;
in $\mathbf{R}: \qquad x_{1}^2-x_{2}^2$.