Esempi

1.
In $\mathbf{C}^{3}$ poniamo

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}. \end{displaymath}

La base che trasforma la $f$ in forma canonica è semplicemente: $\mathcal{B}=(\frac{\mathbf{e}_{1}}{\sqrt{2}},\frac{\mathbf{e}_{2}}{i \sqrt{3}},\mathbf{e}_{3}),$ e

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{B})= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}. \end{displaymath}

2.
Si consideri la forma quadratica rappresentata dal seguente polinomio omogeneo di secondo grado rispetto a $\mathcal{E}$:
$q((x_{1},x_{2},x_{3}))= 4x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$
e se ne determini una forma canonica in $\mathbf{C,R}$. Poiché la matrice associata è già diagonale, la forma canonica
in $\mathbf{C} \, $ è $\quad y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$,
in $\mathbf{R} \, $ è $\quad y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$.