Esercizi

1.
Classificare le seguenti forme quadratiche $q:\mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}$ :
a)
$q(x,y,z)=12x^2+15y^2+3z^2$;
b)
$q(x,y,z)=x^2-2y^2+5z^2$;
c)
$q(x,y,z)=-2x^2-3z^2$.

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Soluzione
Le forme quadratiche sono già diagonalizzate, quindi è immediato determinare il rango, la segnatura e la forma canonica:
Punto a)
La matrice associata è

\begin{displaymath}A=\begin{array}({ccc}) 12 & 0 & 0\\ 0 & 15 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}; \end{displaymath}

allora il rango è 3, la segnatura (3,0) e la forma canonica $x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2$.
La forma quadratica è quindi definita positiva.
Punto b)
La matrice associata è

\begin{displaymath}B=\begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{array}; \end{displaymath}

allora il rango è 3, la segnatura (2,1) e la forma canonica $x_{1}^2+x_{2}^2-x_{3}^2$.
La forma quadratica è quindi indefinita .
Punto c)
La matrice associata è

\begin{displaymath}C=\begin{array}({ccc}) -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{array}; \end{displaymath}

allora il rango è 2, la segnatura (0,2) e la forma canonica $-x_{1}^2-x_{2}^2$.
La forma quadratica è quindi semidefinita negativa.