Esempi

1.
La forma quadratica

\begin{displaymath}q:\mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}, \qquad q((x,y,z))=2x^2+5y^2 \end{displaymath}

è semidefinita positiva, perché certamente $q(\mathbf{v}) \geq 0, \, \, \forall \mathbf{v} \in \mathbf{R}^3$, ma $q((0,0,1))=0$.

2.
La forma quadratica

\begin{displaymath}q:\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}, \qquad q((x,y))=x^2-y^2 \end{displaymath}

è indefinita, perché $q((1,0))=1$ ma $q((0,1))=-1$.

3.
La matrice

\begin{displaymath}A:= \begin{array}({ccc}) -10 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &4 \end{array} \end{displaymath}

ha rango 2 e segnatura (1,1).

4.
Vogliamo trovare la segnatura della matrice

\begin{displaymath}A:= \begin{array}({ccc}) 1 & -2 & 3\\ -2 & 6 & -10\\ 3 & -10 &8 \end{array}. \end{displaymath}

Dobbiamo determinare la matrice diagonale $D$ a cui $A$ è congruente; svolgendo i calcoli troviamo che

\begin{displaymath}D= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}, \end{displaymath}

quindi $A$ ha rango 3 e la sua segnatura è (2,1).