Il polinomio omogeneo associato

Definizione 2.1   Sia $\mathcal{B}$ una base per $\mathbf{V} $ spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Sia $f$ una forma bilineare su $\mathbf{V} $, $A=Mat(f,\mathcal{B})$ e $\, \mathbf{v}=(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}}$. Allora

\begin{displaymath}q(\mathbf{v})=f(\mathbf{v},\mathbf{v})= X^{t}AX= \sum_{i,j=1}... ...^{n}a_{ii}(x_{i})^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_{i}y_{j} \end{displaymath}

è una funzione bilineare associata a un polinomio omogeneo di secondo grado che verrà denotato con $q_{\mathcal{B}}(x_{1},\ldots,x_{n})$.
Diremo che questo polinomio rappresenta $q$ rispetto alla base $\mathcal{B}$.

In particolare, se $f$ è la forma bilineare simmetrica standard su $K^{n}$, la forma quadratica associata è

\begin{displaymath}q(\mathbf{v})= x_{1}^2+x_{2}^2+\ldots +x_{n}^2. \end{displaymath}

Per ottenere la forma quadratica standard, quindi, basta moltiplicare tra loro le matrici riga e colonna formate dalle coordinate del vettore $\mathbf{v}$.
Se in particolare $\mathbf{V}=K^{n} \,$ e $\, \mathcal{B}=\mathcal{E}$, conveniamo di scrivere $q(x_1,\ldots,x_{n})$ invece che $q_{\mathcal{E}}(x_1,\ldots,x_{n})$.
Si noti che ogni volta che abbiamo un polinomio omogeneo di secondo grado in $n$ indeterminate, $q(x)=\sum_{i,j=1}^{n}b_{ij}x_{i}y_{j}$, lo possiamo sempre rappresentare attraverso una matrice simmetrica $A \in M_{n}^{s}(K)$ rispetto ad una data base, e se $A=(a_{ij})$, avremo:
$a_{ii}=b_{ii}, \qquad i=1, \ldots, n$;
$a_{ij}=a_{ji}=\frac{1}{2}b_{ij}, \qquad i < j$.
Allora $A$ è diagonale $\Leftrightarrow$ il polinomio è privo dei termini misti, cioè
$a_{ij}=0 $ per $ i\neq j \quad\Leftrightarrow \quad q_{\mathcal{B}}(x)= a_{11}x_{1}^2 + a_{22}x_{2}^2+ \ldots +x_{n}^2$.
In questo caso la base $\mathcal{B}$ si dirà una base diagonalizzante per la forma bilineare $f$.
Ovviamente dall'analisi delle forme bilineari e dalla forte relazione che esiste fra queste e il polinomio $q$, possiamo dedurre che due polinomi omogenei di secondo grado $p(x)=X^{t}AX$ e $p'(x)=X^{t}BX$ nelle indeterminate $(x_{1},\ldots x_{n})=X$ rappresentano la stessa forma quadratica su $\mathbf{V} $ in due basi diverse se e solo se le matrici simmetriche $\, A \,$ e $\,B$ sono congruenti. Sia infatti $M$ la matrice del cambiamento di base; avremo che nel prodotto interno definito dalla matrice $M^{t}AM$ sarà:
$X^{t}M^{t}AMX=(MX)^{t}A(MX)$;
e cioè sì lo stesso prodotto interno definito da $A$, ma con i vettori scritti rispetto ad un'altra base.