Esempi

1.
Consideriamo il polinomio $q((x,y,z))= x^2 + 2y^2- z^3+6xy+2yz$.
La matrice $A$ della relativa forma quadratica rispetto alla base canonica è:

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) 1 & 3 &0\\ 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}. \end{displaymath}

Ora vogliamo trovare un nuovo polinomio che rappresenti la stessa forma quadratica ma in una base diversa, $\mathcal{B}=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$.

Tale matrice $B$ sarà congruente ad $A$, e si otterrà considerando la matrice del cambiamento di base:

\begin{displaymath}M=M_{\mathcal{E,B}}(id_{\mathbf{V}})= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}, \end{displaymath}

di conseguenza,

\begin{displaymath}B=M^{t}AM= \begin{array}({ccc}) 1 & 1 &0\\ 0 & 1 &1\\ 1... ...ray}({ccc}) 9 & 6 &5\\ 6 & 3 &3\\ 5 & 3 &0 \end{array}. \end{displaymath}

Il nuovo polinomio sarà $p((x,y,z))= 9x^2+3y^2 +12xy+10xz+6yz$ e le matrici $A$ e $B$ sono congruenti.

2.
Sia $n$ un intero positivo, $\mathbf{R}_{n}[x]$ lo spazio dei polinomi, la matrice $A$ dell'applicazione bilineare:

 \begin{displaymath}\int_{0}^{1}p(x)p'(x)dx \end{displaymath} (1)

rispetto alla base $\mathcal{B}=(1,x,x^2,\ldots,x^n)$ di $\mathbf{R}_{n}[x]$, è una matrice quadrata di ordine $n+1$ il cui elemento nella posizione $(i,j)$ è $\frac{1}{i+j-1}$, cioè:

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccccc}) 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \... ...+1} & \frac{1}{n+2} & & \ldots & \frac{1}{2n+1} \end{array}. \end{displaymath}

$A$ è simmetrica, quindi otteniamo la forma associata $q$ ponendo $p(x)=p'(x)$.