Esercizi

1.
Si considerino i polinomi:
$p(x,y,z)=2x^2+3y^2+5z^2$,
$q_{\mathcal{B}}(x,y,z)=-3x^2+101y^2+13z^2+24xy+14yz$,
ove $\mathcal{B}=((0,1,0),(-2,4,3),(2,0,1))$.
Rappresentano la stessa forma quadratica?


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Soluzione
Le matrici corrispondenti sono rispettivamente:

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & ... ...c}) 3 & 12 & 0\\ 12 & 101 & 7\\ 0 & 7 & 13 \end{array}. \end{displaymath}

È facile verificare che sono entrambe non degeneri; stabiliamo se $\exists M \in GL(\mathbf{R}^3) \,$ tale che $\, B=M^{t}AM$.
Prendiamo come $M$ la matrice di passaggio da $\mathcal{E} \,$ a $\, \mathcal{B}$, allora avremo
$M^{t}AM=\begin{array}({ccc}) 0 & 1 & 0\\ -2 & 4 & 3\\ 2 & 0 & 1 \end{arra... ...ay} \begin{array}({ccc}) 0 & -2 & -2\\ 1 & 4 & 0\\ 0 & 3 &1 \end{array}=$
$= \begin{array}({ccc}) 0 & 3 & 0\\ -4 & 12 & 15\\ 4 & 0 & 5 \end{array} ... ...\begin{array}({ccc}) 3 & 12 & 0\\ 12 & 101 & 7\\ 0 & 7 & 13 \end{array}=B$
Quindi i due polinomi rappresentano la stessa forma quadratica.
In particolare $\mathcal{E}$ è una base diagonalizzante per $p$.