Isomorfismi fra forme bilineari e polinomi

$\qquad$ D`ora in poi useremo questi simboli per individuare i seguenti spazi: Sappiamo che una forma quadratica $q$ è ben definita dalla forma bilineare simmetrica $f$; a sua volta $q$ determina univocamente un polinomio di secondo grado omogeneo, che è sempre rappresentabile tramite una matrice simmetrica; tutte queste corrispondenze biunivoche vengono riassunte dai seguenti isomorfismi:

Proposizione 3.1   Sia $\mathbf{V} $ un $K$-spazio vettoriale, $\dim \mathbf{V} =n \geq 1, \quad \mathcal{B}$ una base per $\mathbf{V} $, $f \in Bils(\mathbf{V})$. Allora le applicazioni:
$\mu_{\mathcal{B}}:Bils(\mathbf{V}) \rightarrow M_{n}(K)$
$\qquad f \rightarrow Mat(f,\mathcal{B})$
$\phi:Bils(\mathbf{V}) \rightarrow Quad(\mathbf{V})$
$\qquad f \rightarrow q$
$\psi :M_{n}^{s}(K) \rightarrow K[x_{1},\ldots,x_{n}]_{2}$
$\qquad (a_{ij})=A \rightarrow \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}$
$\chi_{\mathcal{B}}:Quad(\mathbf{V}) \rightarrow K[x_{1},\ldots,x_{n}]_{2}$
$\qquad q \rightarrow q_{\mathcal{B}}(x_{1},\ldots,x_{n})$
sono isomorfismi di spazi vettoriali e il seguente diagramma è commutativo:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
Bils(\mathbf{V}) & \stackrel{\mu_{\mathca...
...}}}{\longrightarrow} & K[x_{1},\ldots,x_{n}]_{2}
\end{array}
\end{displaymath}

Dimostrazione