Ora approfondiremo l'analisi delle forme bilineari simmetriche che hanno particolare importanza per lo studio dei prodotti interni negli spazi vettoriali.
Definizione 1.1
Sia
un -spazio vettoriale e
una forma bilineare simmetrica.
L'applicazione:
con
è detta forma quadratica associata a f.
Ciò si esprime anche dicendo che
è un prodotto interno su
che gode in più della proprietà simmetrica.
>
Proposizione 1.2
Sia
una forma bilineare simmetrica su
;
la forma quadratica
associata ad
soddisfa le seguenti condizioni:
1.
2.
>
Dimostrazione
Dalla proposizione discende in particolare che è equivalente assegnare una forma bilineare simmetrica su
oppure una forma quadratica su
,
infatti la
determina univocamente la forma bilineare simmetrica a cui è associata.
Inoltre se
ha dimensione finita, allora si dice rango di una forma quadratica il rango della forma bilineare a cui è associata.