La forma quadratica q

$\qquad$ Ora approfondiremo l'analisi delle forme bilineari simmetriche che hanno particolare importanza per lo studio dei prodotti interni negli spazi vettoriali.

Definizione 1.1   Sia $\mathbf{V} $ un $K$-spazio vettoriale e $f$ una forma bilineare simmetrica. L'applicazione:
$q: \mathbf{V} \rightarrow K, \quad$ con $\, \mathbf{v} \rightarrow f(\mathbf{v},\mathbf{v})$
è detta forma quadratica associata a f.
Ciò si esprime anche dicendo che $q$ è un prodotto interno su $\mathbf{V} $ che gode in più della proprietà simmetrica.

Proposizione 1.2   Sia $f$ una forma bilineare simmetrica su $\mathbf{V} $; la forma quadratica $q$ associata ad $f$ soddisfa le seguenti condizioni:
1.
$q(\lambda \mathbf{v})= \lambda^{2}q(\mathbf{v}), \qquad \forall \lambda \in K, \qquad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{V};$
2.
$\frac{1}{2}(q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-q(\mathbf{v})-q(\mathbf{w}))= f(\mathbf{v},\mathbf{w}), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{V}.$

Dimostrazione

Dalla proposizione discende in particolare che è equivalente assegnare una forma bilineare simmetrica su $\mathbf{V} $ oppure una forma quadratica su $\mathbf{V} $, infatti la $q$ determina univocamente la forma bilineare simmetrica a cui è associata.
Inoltre se $\mathbf{V} $ ha dimensione finita, allora si dice rango di una forma quadratica il rango della forma bilineare a cui è associata.