Esercizi

1.
Si consideri la forma bilineare
$f:\mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}, $
$f(\mathbf{x},\mathbf{y})= y_{1}(2x_{1}-x_{3})+y_{2}(3x_{2}+5x_{3})-y_{3}(x_{1}-5x_{2}).$
Dopo aver verificato che è una forma simmetrica, stabilire per quali valori di $h,k$ la seguente forma quadratica
$q:\mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}, \quad q(\mathbf{x})=2x_{1}^2+(h+k) x_{2}^2-hk x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3};$
è associata a $f$.
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Soluzione
I passo:
La matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica è:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & -1\\ 0 & 3 & 5\\ -1 & 5 & 0 \end{array}, \end{displaymath}

che è una matrice simmetrica; questo implica che $f$ è simmetrica.
II passo:

Poiché la forma quadratica $q$ determina univocamente la forma bilineare simmetrica a cui è associata, anche la matrice relativa dovrà essere unica, quindi dovrà valere che:

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} h+k=3\\ -hk=-2 \end{array} \righ... ...\begin{array}{l} h=3-k\\ k^2 -3k +2=0 \end{array} \right. \end{displaymath}

da cui si ottiene

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} h=1\\ k=2 \end{array} \right. , ... ... \left\{ \begin{array}{l} h=2\\ k=1 \end{array} \right. . \end{displaymath}

Per queste due coppie di valori, le due forme sono equivalenti.