Congruenza fra forme bilineari

$\qquad$ Ovviamente la corrispondenza biunivoca descritta fra $Bil(\mathbf{V})$ e $M_{n}(K)$ dipende dalla base scelta per $\mathbf{V}$, quindi basi diverse fanno corrispondere matrici diverse alla stessa forma bilineare.
Ora vogliamo analizzare quale relazione sussiste fra diverse scelte della base.
Siano $\mathfrak{C,D} $ due basi di $\mathbf{V}$, sia $f$ una forma bilineare su $\mathbf{V}, \, f\in Bil(\mathbf{V}),$ allora

 \begin{displaymath} Mat(f,\mathcal{D})= (M_{\mathfrak{C,D} }(id_{\mathbf{V}}))^{t}Mat(f,\mathcal{C})M_{\mathfrak{C,D} } (id_{\mathbf{V}}) \end{displaymath} (3)

dove $M_{\mathfrak{C,D} }(id_{\mathbf{V}})$ è la matrice del cambiamento di base su $\mathbf{V}$.

Dimostrazione


Viceversa, se $Mat(f,\mathcal{B})$ rappresenta la forma bilineare $f$, dall'isomorfismo costruito e dalle proprietà dello spazio $M_{n}(K)$, si ha che, presa una qualunque matrice $M \in M_{n}(K)$, invertibile di ordine $n$, esiste una base $\mathcal{F}$ di $\mathbf{V}$ tale che:
$M= M_{\mathfrak{C,F} }(id_{\mathbf{V}})$.
Allora fra le due matrici esiste una relazione di congruenza, ove

Definizione 3.1   Siano $A,B\in M_{n}(K). \quad A $ e $B$ si dicono congruenti se $\exists M\in GL_{n}(K)$ tale che $A$ si puó scrivere come

\begin{displaymath}A=M^{t}BM. \end{displaymath}

Proposizione 3.2   La congruenza è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione

Proposizione 3.3   Due matrici $A,B \in M_{n}(K)$ rappresentano la stessa forma bilineare, cioè $A$ e $B$ sono congruenti, se e solo se $ \exists \,\, \mathfrak{C,D} $ basi di $\, \mathbf{V}, \,\, \exists \, f \in \textrm{Bil($\mathbf{V}$ )}\,$, tali che:

\begin{displaymath}A=Mat(f,\mathcal{C}) \quad B=Mat(f,\mathcal{D}). \end{displaymath}

Dimostrazione