Rango delle forme bilineari

$\qquad$ Le matrici congruenti dovranno avere uguale rango, quindi per ciò che abbiamo visto,
il rango di $Mat(f,*)$ non dipende dalla scelta della base.
Allora chiameremo rango della forma bilineare $f$ su $\mathbf{V}$, e lo denoteremo con $\emph{r(f)}$ l'intero $r(Mat(f,\mathcal{C}))$, dove $\mathcal{C}$ è una base per $\mathbf{V}$. La definizione è ben posta, infatti se $M$ è invertibile allora $r(M^{t}AM)= r(A)$ e quindi la definizione non dipende dalla base scelta.

Proposizione 4.1   Sia $\mathcal{B}$ una base per $\mathbf{V}$. Sia $f\in Bil(\mathbf{V})$, allora
per la bilinearità di $f$, possiamo definire $ \forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}$ le seguenti applicazioni da $\mathbf{V}$ a $\mathbf{V}^{*}$, che risulteranno lineari:
$\mathbf{v}\rightarrow f(\mathbf{v},*), \qquad \qquad \mathbf{v}\rightarrow f(*,\mathbf{v})$.
Inoltre se $A=Mat(f,\mathcal{B}), \, \mathbf{v}=(c_{1},\ldots,c_{n})_{\mathcal{B}}, \, \mathcal{E}$ base canonica di $K$, avremo
$M_{\mathfrak{EB} }(f(\mathbf{v},*))= C^{t}A ,$
$M_{\mathfrak{EB} }(f(*,\mathbf{v}))= C^{t}A^{t}.$

Dimostrazione

Osservazione 4.2   Si deduce subito che $f(\mathbf{v},*)=f(*,\mathbf{v}) \, \Leftrightarrow $ f è simmetrica.

Ora possiamo caratterizzare le forme non degeneri attraverso il rango, cioè avremo:

Proposizione 4.3   Sia $\mathbf{V}$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione finita ed $f$ una forma bilineare. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1.
$f$ è non degenere,
2.
$\forall \, \mathbf{v} \neq 0 \in \mathbf{V} , \, \exists \mathbf{w} \in \mathbf{V}$ tale che $f(\mathbf{v},\mathbf{w}) \neq 0,$
3.
$\forall \, \mathbf{w} \neq 0 \in \mathbf{V} , \, \exists \mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che $f(\mathbf{v},\mathbf{w}) \neq 0.$

Dimostrazione