Rango delle forme bilineari
Le matrici congruenti dovranno avere uguale rango, quindi per ciò che abbiamo visto,
il rango di
non dipende dalla scelta della base.
Allora chiameremo
rango della forma bilineare
su
, e lo denoteremo con
l'intero
, dove
è una base per
.
Se
, la forma è detta
non degenere
.
Se
, la forma è detta
degenere
.
La definizione è ben posta, infatti se
è invertibile allora
e quindi la definizione non dipende dalla base scelta.
Proposizione 4.1
Sia
una base per
. Sia
, allora
per la bilinearità di
, possiamo definire
le seguenti applicazioni da
a
, che risulteranno lineari:
.
Inoltre se
base canonica di
, avremo
>
Dimostrazione
Osservazione 4.2
Si deduce subito che
f è simmetrica.
> Ora possiamo caratterizzare le forme non degeneri attraverso il rango, cioè avremo:
Proposizione 4.3
Sia
un
-spazio vettoriale di dimensione finita ed
una forma bilineare. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1.
è non degenere,
2.
tale che
3.
tale che
>
Dimostrazione
Esempi
Esercizi