PASSO I

Il teorema spettrale ci assicura, che data una matrice $\mathrm A$ simmetrica reale, che definisce sia una forma quadratica che un endomorfismo diagonalizzabile, esiste una matrice ortogonale  $\mathrm M$ tale che $\mathrm M^{-1}\mathrm A\mathrm M=\mathrm
M^t\mathrm A\mathrm M$ diagonale. Quindi possibile trovare una matrice $\mathrm M_0$ ortogonale tale che la trasformazione lineare:
\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x\\ y
\end{array}
\right)=\mathrm M_0 \left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'
\end{array}
\right)
\end{displaymath} (9)

riduca la forma quadratica (Forma quadratica) nella forma $q(x',y')=\lambda_{1}(x')^2+\lambda_2(y')^2$ dove $\lambda_1$ e $\lambda_2$ non sono simultaneamente nulli. La matrice associata alla forma

\begin{displaymath}
\mathrm M_0^tA_0M_0= \left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}
\right),
\end{displaymath}


$\lambda_1$ e $\lambda_2$ autovalori di $\mathrm{A_0}$. Secondo quanto visto in ((x,y)=M0 (x',y')) possiamo scrivere anche

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x\\ y\\ 1
\end{array}
\right)=...
...
\left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'\\ 1
\end{array}
\right)
\end{displaymath} (10)

che applicata in (Conica in forma matriciale) ci da:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\righ...
... \left(
\begin{array}{c}
x'\\ y'\\ 1
\end{array}
\right)=
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
=\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+2b_{13}x'+2b_{23}y'+b_{33}=0.
\vspace{4mm}
\end{displaymath} (11)

Definizione Passo II