passo1

PASSO I

Il teorema spettrale ci assicura, che data una matrice $\mathrm A$ simmetrica reale, che definisce sia una forma quadratica che un endomorfismo diagonalizzabile, esiste una matrice ortogonale $\mathrm M$ tale che $\mathrm M^{-1}\mathrm A\mathrm M=\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M$ è diagonale. Quindi è possibile trovare una matrice $\mathrm M_0$ ortogonale tale che la trasformazione lineare:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)=\mathrm M_0 \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) \end{displaymath}$

(9)

riduca la forma quadratica () nella forma $q(x',y')=\lambda_{1}(x')^2+\lambda_2(y')^2$ dove $\lambda_1$ e $\lambda_2$ non sono simultaneamente nulli. La matrice associata alla forma è

$\begin{displaymath} \mathrm M_0^tA_0M_0= \left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right), \end{displaymath}$

$\lambda_1$ e $\lambda_2$ autovalori di $\mathrm{A_0}$ . Secondo quanto visto in () possiamo scrivere anche

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array} \right)=... ... \left( \begin{array}{c} x'\\ y'\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$

(10)

che applicata in () ci da:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{ccc} x' & y' & 1 \end{array} \righ... ... \left( \begin{array}{c} x'\\ y'\\ 1 \end{array} \right)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+2b_{13}x'+2b_{23}y'+b_{33}=0. \vspace{4mm} \end{displaymath}$

(11)