passo2

PASSO II

Consideriamo la seguente traslazione

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} x'=X-a\\ y'=Y-b \end{array} \right. \end{displaymath}$

ed applichiamola alla (). Avremo allora:

$\begin{displaymath} \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+2(b_{13}-\lambda_1a)X+2(b_{23}-\lambda_2b)Y+d=0 \end{displaymath}$

(12)

dove:

$\begin{displaymath} d=\lambda_1a^2+\lambda_2b^2-2b_{13}a-2b_{23}b+b_{33}. \end{displaymath}$

(13)

Distinguiamo ora tre casi:

Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono entrambi diversi da zero, possiamo prendere $a=\displaystyle\frac{b_{13}}{\lambda_1}$ ,
$b=\displaystyle\frac{b_{23}}{\lambda_2}$ , e avremo l'equazione:

$\begin{displaymath} \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+c=0 \end{displaymath}$ (14)

dove è ottenuto sostituendo e nella ().
Se ( ), possiamo prendere e sostituirlo in ().Il coefficiente della X allora si annullerà e dalla () avremo che
. Ora:
- Se $b_{23}\neq 0$ prendiamo in modo che d=0 e otteniamo:
  
  $\begin{displaymath} \lambda_1X^2+2b_{23}Y=0 \end{displaymath}$ (15)
Se $b_{23}=0$ , d non dipende da b e quindi possiamo prendere e la () diventa:

$\begin{displaymath} \lambda_1X^2+d=0 \end{displaymath}$ (16)
Se $\lambda_1=0$ e $\lambda_2\neq 0$ basta scambiare X con Y e si procederà allo stesso modo.

Abbiamo ora un numero sufficiente di informazioni per una classificazione metrica e affine delle coniche.