Dato un anello commutativo A quello che ci proponiamo di fare è di costruire un anello,chiamato:

che contenga A come sottoanello e in più un elemento

Anche se A contiene già una radice quadrata di d noi ne cerchiamo un’altra che non appartenga ad A.

DEFINIZIONE 26:

x è dato dalla somma formale:

· Invece delle somme formali descritte sopra si può anche considerare questo nuovo anello come

i cui elementi sono le coppie ordinate (a, b), definendo in modo appropriato le operazioni (vedi dopo).

In questo caso verrebbe rappresentato dalla coppia (0,1).

· L’anello A è immerso in A[] e ogni elemento a di A viene rappresentato dalla somma:

· Vediamo come si definisce la somma:

· Per definire il prodotto bisogna fare prima di tutto delle considerazioni:

1. se a e b sono due elementi di A, allora:

3. affinché l’insieme appena definito sia un anello commutativo devono valere gli assiomi della

definizione 1 ed in più la legge commutativa, per cui si ha:

il loro prodotto è definito da:

· Lo zero è definito dalla somma formale:

mentre l’identità da:

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Proposizione 18:

L’insieme con l’addizione, la moltiplicazione, lo zero e l’identità definiti nella definizione 26 è un anello commutativo che contiene A come sottoanello.