Alcune successioni mostrano una
ben precisa regolarità: all’aumentare dell’indice n, il termine della successione an raggiunge
un valore
più elevato dei precedenti.
Ad esempio, la successione 
cresce
all’aumentare
di n, come si può vedere dal grafico
dell'analoga funzione reale:
Vediamo ora di definire
esattamente questa regolarità; una classificazione di tal genere
ci sarà utile
anche per il calcolo dei limiti.
DEFINIZIONE
(5.1) Una successione di numeri reali 
si
dice:
1) a) monotona
strettamente crescente
se 
,
.
b) monotona crescente se 
,
.
2) a) monotona
strettamente decrescente
se 
,
.
b) monotona decrescente 
,
.
Talvolta per indicare la crescenza o
la decrescenza di una successione 
si
può scrivere,
rispettivamente, 
ed 
.
Il seguente teorema
indica come calcolare facilmente il calcolo dei limiti di successioni
monotone.
TEOREMA
(5.2) Sia una
successione di
numeri reali.
1) Se è
una successione
monotona crescente, allora 
.
2) Se è
una successione
monotona decrescente, allora 
Dimostrazione
Dunque, come vedremo negli
esempi seguenti, se si riconosce che una successione è monotona
crescente o
decrescente, si è certi che essa ha limite e che tale limite
è proprio
rispettivamente l’estremo superiore o l’estremo inferiore.
