Finora si è visto come verificare se una successione ha limite o meno applicando direttamente la definizione e le sue conseguenze. Con tali metodi, però, non è possibile affrontare lo studio delle successioni che non sono estremamente semplici: i calcoli diventerebbero, infatti, troppo laboriosi e in certi casi si dovrebbe quasi indovinare l’andamento della successione.
Si vedranno ora dei metodi (attraverso otto teoremi fondamentali) che permettono di semplificare notevolmente il calcolo dei limiti e che analizzano il comportamento delle successioni attraverso le quattro operazioni elementari e la relazione di disuguaglianza.
I primi due teoremi mostrano un concetto che appare sufficientemente intuitivo: la somma dei limiti è uguale al limite della somma, il prodotto dei limiti è uguale al limite del prodotto dei limiti e allo stesso modo (quando possibile) si può fare per il quoziente.
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TEOREMA
(4.1) Siano
(an)
e (bn)
due successioni di numeri reali tali che
,
.
Allora si hanno le seguenti proprietà:
1)
2)
3)
,
se
e
.
________________________________________________________________________
Dimostrazione
1) Si osserva che, poiché:
:
,
:
,
allora:
:
,
2) Allo stesso modo, con le condizioni di 1), si ottiene:
:
,
In definitiva (per l’arbitrarietà di ε) si è provato ciò che si voleva, essendo:
:
,
3)
E’ sufficiente, in questo caso, provare che
se
e
.
Infatti, se ciò è vero, allora, per il punto
precedente:
.
Si osserva prima di tutto che, al solito:
:
,
Allora, fissato ε, per
:
Scelto
:
Ora, dunque,
:
,
e ciò prova quanto si voleva.
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TEOREMA
(4.2) Siano
(an)
e (bn)
due successioni di numeri reali.
1)
a) Se
e
,
allora
.
b)
Se
e
,
allora
.
2) a)
Se
e
,
allora
.
b)
Se
e
,
allora
.
c)
Se
e
,
allora
.
d)
Se
e
,
allora
.
3) a)
Se
e
,
allora
.
b)
Se
e
,
allora
.
4) a)
Se
e
con
,
allora
.
b)
Se
e
con
,
allora
.
5) a)
Se
e
,
allora
.
b)
Se
e
,
allora
.
6) a)
Se
e
,
allora
.
b)
Se
e
,
allora
.
_________________________________________________________________________
Omettiamo la dimostrazione per questo teorema in quanto molto tecnica e lunga (anche se il teorema stesso è molto utile nel calcolo dei limiti).
Si può osservare
che alcuni coppie di successioni non vengono menzionati: ad esempio,
se
e
,
allora non è possibile ricavare alcun asserto generale sulla
successione
.
Approfondiremo adeguatamente questo tema nell’ultimo paragrafo,
in quanto ciò rientra in quelle che diremo forme indeterminate
(vedi il paragrafo Risoluzioni
di forme indeterminate).
Ora vedremo alcuni teoremi che ci mostrano alcune disuguaglianze notevoli sui limiti di successioni.
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TEOREMA (4.3) (della permanenza del segno)
Sia (an)
una successione di numeri reali convergente al limite l.
1)
Se
,
esiste
tale
che:
,
2)
Se
,
esiste
tale
che:
,
_________________________________________________________________________
Dimostrazione
Per la definizione di limite:
,
:
,
Scelto
si ha:
,
Se
,
,
.
Se
,
,
.
_________________________________________________________________________
TEOREMA
(4.4) Siano
(an)
e (bn)
due successioni di numeri reali tali che
,
.
1)
Se
,
allora esiste
,
tale che
,
.
2)
Se
,
allora si ha che
.
_________________________________________________________________________
Dimostrazione
1)
Per i due teoremi precedenti 4.1 e 4.3, si osserva che
e
allora esiste
tale
che
,
e
cioè
,
.
2)
Se si avesse
,
allora esisterebbe
tale
che
,
e
ciò sarebbe un assurdo in quanto incompatibile con l’ipotesi.
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TEOREMA (4.5) (dei “carabinieri”)
Siano (an)
, (bn)
e (cn)
successioni di numeri reali tali che:
,
Se si ha che:
allora anche:
_________________________________________________________________________
Dimostrazione
Per la definizione di limite:
,
:
,
,
:
,
Quindi:
,
:
,
Ciò prova così che
.
_________________________________________________________________________
Ad esempio, la
successione
tende
a 0 in quanto “compresa” tra le due successioni
e
,
che convergono entrambe a 0, come è evidenziato dalla figura
seguente.
_________________________________________________________________________
TEOREMA
(4.6) Siano
(an)
e (bn)
due successioni di numeri reali.
1)
Se
e
,
,
allora
.
2)
Se
e
,
,
allora
.
_________________________________________________________________________
Dimostrazione
1) Per la definizione di limite:
,
:
,
Allora si ha che:
,
:
,
e così
.
2) Allo stesso modo, sempre per la definizione di limite:
,
:
,
e dunque:
,
:
,
Allora
.
_________________________________________________________________________
Diamo, infine, alcuni cenni sul concetto di successione limitata (non addentrandoci in questioni più complicate che non hanno comunque lo scopo di risolvere direttamente il calcolo dei limiti, che è in sostanza ciò che ci interessa).
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DEFINIZIONE (4.7)
1)
Una successione reale
si
dice limitata superiormente
se esiste
tale
che
.
In tal caso, si dice
estremo superiore di
il
numero reale:
2) Una successione reale
si
dice limitata inferiormente
se esiste
tale
che
.
In tal
caso, si dice estremo inferiore di
il
numero reale:
3) Una successione reale si dice limitata se è sia superiormente limitata sia inferiormente limitata.
4) Se una successione reale
non
è limitata superiormente, si pone:
5) Se una successione reale
non
è limitata inferiormente, si pone:
Osserviamo che, dalla definizione di limite, segue che:
-
se
,
allora
-
se
,
allora
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TEOREMA (4.8) Una successione reale convergente è limitata.
_________________________________________________________________________
Dimostrazione
Sia
una
successione convergente al limite
.
Allora, per definizione:
,
:
,
Scelto
:
:
,
Dunque, si ottiene che:
,
Posto
e
,
si ha proprio:
,
,
da cui si conclude che la successione è limitata.
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Naturalmente una
successione limitata può non essere convergente: ad esempio,
abbiamo visto che
è
oscillante, pur essendo, però, limitata.