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Discussione alla Weierstrass

D'ora in avanti assumeremo che la risultante delle forze $ R_x$ sia una funzione di classe $ C^\infty(\mathbb{R})$.
Ricaviamo $ \dot{x}(t)$ dalla legge di conservazione dell'energia:

$\displaystyle \dot{x}(t)=\pm \sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}\;\;\;\forall t>t_0$

dove il segno della radice è determinato come vedremo dalle condizioni iniziali.
Assegnate le condizioni iniziali

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x(t_0)=x_0 \\ \dot{x}(t_0)=v_0 \;,\\ \end{array}\right.$ (3.1)

possiamo innanzitutto distinguere due casi:
  1. $ \dot{x}(t_0)=v_0\neq 0$
  2. $ \dot{x}(t_0)=v_0=0$

Caso 1

Il segno della velocità iniziale $ \dot{x}(t_0)$ determina il fatto che all'istante $ t_0$ il moto sia diretto (nel verso positivo dell'asse $ x$) o retrogrado (nel verso negativo di $ x$). Possiamo dunque orientare l'asse $ x$ in modo che sia $ \dot{x}(t_0)>0$.
Per continuità esiste $ \bar{t}>t_0$ tale che $ \dot{x}(t)>0$ , $ \forall t\leq \bar{t}$.
Allora $ \dot{x}(t)=+ \sqrt{\displaystyle \frac{2}{m}(E-V(x))}\;\;\;\forall t\leq \bar{t}$.
Poniamo ora $ f(x)=\displaystyle \frac{2}{m}(E-V(x))\;;$ quindi

$\displaystyle \dot{x}(t)=\sqrt{f(x)}$ (3.2)

e $ \dot{x}(t)^2=f(x)$.

Osservazione 3.1   Poichè $ \dot{x}^2$ non può essere negativa, gli intervalli di $ x$ in cui il moto è consentito sono quelli per cui si ha $ f(x)\geq 0$, ossia $ V(x)\leq E$.
Tali intervalli potranno essere visualizzati tracciando il grafico della funzione $ V(x)$ nel piano $ (x,y)$ e la retta orizzontale $ y=E$: le regioni ammissibili di $ x$ saranno quelle dove il grafico di $ V(x)$ sta al di sotto della retta $ y=E$ e tali tratti saranno finiti o infiniti a seconda che il corrispondente intervallo di $ x$ sia finito oppure no.


Esempio 3.1   Dato un potenziale come in fig.3.1 notiamo che le regioni ammissibili sono solo quelle evidenziate in rosso.

Figura 3.1: Regioni ammissibili di x
Image fig6

Osservazione 3.2   Per lo stesso motivo l'energia totale $ E$ può assumere solo i valori che soddisfano la condizione

$ E\geq$   inf$ \left\{V(x):x\in dom(V)\right\}$


Esempio 3.2   Dato un altro potenziale come in fig.3.2 che ammette un minimo assoluto m notiamo che i valori ammissibili per $ E$ devono soddisfare la condizione $ E\geq E_0=m$ = m.

Figura 3.2: Valori ammissibili
Image fig7

Dato $ \dot{x}=\sqrt{f(x)}$ distinguiamo ora i casi:

1.1
$ f(x)\neq 0$ $ \forall x\geq x_0$
1.2
$ \exists\, x_1>x_0$ t.c. $ f(x_1)=0$

Caso 1.1

 In questo caso si ha $ \dot{x}>0$ $ \forall t\geq t_0$, cioè il punto materiale ha velocità positiva quindi il moto è diretto $ \forall t\geq t_0$, cioè il punto si muove sempre nella direzione positiva dell'asse $ x$.
Figura 3.3: Moto unidimensionale lungo x
Image fig8

Sia ora $ x>x_0$ un punto arbitrariamente fissato sulla retta.
Calcoliamo il tempo $ t(x)$ impiegato da $ P$ a raggiungere la posizione $ x$.
Dalla 3.2 si ha:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\sqrt{f(x)}\;\;\;\;$   cioè$\displaystyle \;\; \frac{dx}{\sqrt{f(x)}}=dt\;\;.$

Integrando da $ x_0$ a $ x$ otteniamo:

$\displaystyle \int^{x}_{x_0}\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}=\int^{t(x)}_{t_0}dt\;.$

Assumendo per semplicità $ t_0=0$ troviamo

$\displaystyle t(x)=\int^{x}_{x_0}\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}$ (3.3)

L'integrale al membro di destra di 3.3 è finito, in quanto la funzione integrande è continua su $ [x_0,+\infty]$ e quindi limitata su $ [x_0,t]$ , $ \forall x>x_0$.
Questo ci permette di concludere che il punto $ P$ impiega un tempo finito a raggiungere una qualunque posizione sull'asse $ x$ a destra della configurazione iniziale. Quindi il moto di $ P$ si svolge secondo questa modalità: parte da $ x_0$ con velocità positiva e percorre tutto l'asse $ x$ di moto diretto senza mai fermarsi, raggiungendo prima o poi, in un tempo più o meno lungo (ma finito!) una qualunque postazione preassegnata.
Tale moto è detto aperiodico e, nel caso specifico, diretto.

Caso 1.2

 Sia $ x_1=$   min$ \left\{x:x>x_0\,,f(x)=0\right\}$ il più piccolo valore di $ x>x_0$ in cui la $ f$ (e quindi la velocità) sia nulla.
Figura 3.4: Moto unidimensionale lungo x
Image fig9

Per quanto visto nel caso 1.1 possiamo subito affermare che il punto materiale raggiunge tutte le posizioni precedenti a $ x_1$ in un tempo finito più o meno lungo; si ha infatti di nuovo

$\displaystyle t(x)=\int^{x}_{x_0}\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}\;\;\;\; \forall x<x_1$

Essendo $ x_1$ il "`primo"' valore di $ x$ in cui $ f(x)$ si annulla si avrà invece che il tempo $ t_1=t(x_1)$ impiegato a raggiungere $ x_1$ è dato da un integrale generalizzato:

$\displaystyle t(x_1)=\int^{x_1}_{x_0}\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}$ (3.4)

La convergenza di questo integrale dipende dalla molteplicità di $ t_1$ come radice di $ f(x)$.
Si distinguono perciò due ulteriori sottocasi:
1.2.1
$ x_1$ è una radice multipla di $ f(x)$ ;
1.2.2
$ x_1$ è una radice semplice di $ f(x)$ .

Caso 1.2.1
Sia dunque $ x_1$ radice dell' equazione $ f(x)=0$ di molteplicità $ n$, ovviamente $ n\geq 2$, $ n\in N$. Poichè $ f\in C^\infty$ per ipotesi possiamo allora scrivere $ f(x)$ nella seguente forma:

$\displaystyle f(x)={(x_1-x)}^nf_1(x)$ (3.5)

con $ f_1(x)>0$ , $ \forall\in [x_0,x_1]$. Ricordando la 3.2 e la 3.5 si può scrivere

$\displaystyle \frac{dx}{dt}={(x_1-x)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{f_1(x)}\;.$

Dalla 3.4 si ha allora

$\displaystyle t_1=t(x_1)=\int^{x_1}_{x_0}\frac{dx}{{(x_1-x)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{f_1(x)}}$ (3.6)

L'integrale generalizzato 3.6 è divergente perchè la funzione integranda $ \frac{1}{{(x_1-x)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{f_1(x)}}$ è un infinito di ordine $ \frac{n}{2}\geq 1$ rispetto all'infinito campione $ \frac{1}{(x_1-x)}$ per $ x\rightarrow x_1$.
Dunque $ t(x_1)=\infty$, cioè il punto materiale impiega un tempo infinito a raggiungere la posizione di ascissa $ x$. In altre parole $ P$ non raggiunge di fatto $ x_1$, se non asintoticamente, cioè al limite per $ t\rightarrow \infty$.
Concludiamo che nel caso di radice multipla si ha un moto asintotico verso il punto di ascissa $ x$, a cui il punto si avvicina sempre più senza mai raggiungerlo.

Osservazione 3.3   Dalla 3.5 segue che se $ x_1$ è una radice di $ f(x)$ essa è multipla se e solo se $ f'(x_1)=0$, o equivalentemente $ V'(x_1)=0$. Pertanto dal Teorema 3.1 si ha che una radice di $ f(x)$ è multipla se e solo se è una configurazione di equilibrio.

Caso 1.2.2
Sia ora $ x_1$ radice semplice dell'equazione $ f(x)=0$, ciò significa che

$\displaystyle f(x_1)=0\;\;\;\;,\;\;f'(x_1)\neq 0$ (3.7)

per cui $ f(x)$, per $ x_0\leq x\leq x_1$, può essere scritta come

$\displaystyle f(x)=(x_1-x)f_1(x_1)\neq 0$ (3.8)

con $ f_1(x)>0$ , $ \forall x\in[x_0,x_1]$.
Procedendo come prima, si ha

$\displaystyle \frac{dx}{dt}={(x_1-x)}^\frac{1}{2}\sqrt{f_1(x)}$

per cui, separando le variabili, ed integrando ambo i membri si ottiene

$\displaystyle t(x-1)=\int^{x_1}_{x_0}\frac{dx}{(x_1-x)^ \frac{1}{2}\sqrt{f_1(x)}}$ (3.9)

Anche questo è un integrale generalizzato, ma ora l' infinito è di ordine $ \displaystyle \frac{1}{2}$, per cui l'integrale converge.
Dunque il punto impiega un tempo finito per raggiungere la posizione $ x_1$ e all'istante $ t(x_1)$ si ferma, $ v(t_1)=0$.
Ci chiediamo così come si comporterà il punto materiale dopo l'istante di arresto $ t_1$.
Per saperlo occorre studiare il segno di $ \ddot{x}(t_1)$.
Osserviamo che

$\displaystyle \ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{d\sqrt{f(x)}}{dt}=\dot{x}\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=\frac{1}{2}\frac{df(x)}{dx}$

Ossia l'accelerazione è esprimibile in funzione di $ x$:

$\displaystyle \ddot{x}=\frac{1}{2}f'(x)\;.$ (3.10)

Figura 3.5: Accelerazione
Image fig10

Allora dalla 3.8 si ha

$\displaystyle \ddot{x}=\frac{1}{2}(-f_1(x)+(x_1-x)f_1(x))\;.$ (3.11)

Calcolando la 3.11 per $ x=x_1$ si ottiene, ricordando anche la 3.7,

$\displaystyle \ddot{x}=-\frac{1}{2}f_1(x_1)\neq 0\;$   e in particolare $\displaystyle \ddot{x}(t_1)<0$

in quanto $ f_1(x_1)>0$.
Ne segue che $ \dot{x}(t)$ è decrescente in un intorno di $ t$, ed essendo $ \dot{x}(t_1)=0$ si avrà che esiste $ \bar{t}>t_1$ tale che $ \dot{x}(t)<0$ $ \forall t\in]t_1,\bar{t}[$.
In generale possiamo affermare che quando il punto materiale incontra una radice semplice, ed ha un istante di arresto, inverte la direzione del moto essendo l'accelerazione $ \ddot{x}$ diversa da zero. A questo punto lo studio del moto riprende ripetendo l'analisi già fatta e si arriva facilmente alle conclusioni che seguono

Caso 2

 Il punto materiale ha velocità iniziale nulla, $ \dot{x}=0$.
Essendo $ \dot{x}(t)=\pm\sqrt{f(x)}=0$ si avrà

$\displaystyle \dot{x}(t_0)=\pm\sqrt{f(x_0)}=0\;,$

e quindi $ f(x_0)=0$ , cioè all'istante iniziale $ t_0$ il punto si trova in una posizione da ascissa $ x_0$ coincidente con uno degli zeri di $ f(x)$.
Il moto del punto per $ t>t_0$ dipende dal valore di $ \ddot{x}(t_0)$ e abbiamo due sottocasi:
2.1
$ \ddot{x}(t_0)=0$ ,
2.2
$ \ddot{x}(t_0)\neq 0$ .

Caso 2.1

 Se $ \dot{x}(t_o)=0$, cioè il punto materiale ha un'accelerazione iniziale nulla, l'equazione di Newton 2.1 sarà

$\displaystyle F(x_0)=m\ddot{x}(t_0)=0\;.$ (3.12)

Dalla 3.12 segue che l'equazione del moto $ m\ddot{x}(t)=F(x(t))$ ammette come unica soluzione $ x(t)=x_0$ , $ \forall t\geq t_0$, soddisfacente i dati iniziali

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x(t_0)=x_0 \\ \dot{x}(t_0)=0 \;.\\ \end{array}\right.$ (3.13)

Dunque il punto rimane immobile in $ x_0$ ad ogni istante successivo a quello iniziale, e $ x_0$ è una configurazione di equilibrio secondo la seguente definizione.

Definizione 3.1   $ x_0 \in\mathbb{R}$ si dice configurazione di equilibrio se, posto il punto materiale in $ x_0$ all'istante $ t_0$ con velocità nulla, ivi rimane ad ogni istante successivo.

In base a quanto ottenuto sopra possiamo enunciare il seguente teorema.

Teorema 3.1  
$ x_0 \in\mathbb{R}$ è una configurazione di equilibrio se e solo se
$ R(x_0)=0$, o equivalentemente, $ U'(x_0)=0$.

Caso 2.2

 Se $ \ddot{x}(t_0)=0$, cioè il punto materiale ha un'accelerazione non nulla, si metterà in moto con velocità positiva (moto diretto) se $ \ddot{x}(t_0)>0$ e con velocità negativa (moto retrogrado) se $ \ddot{x}(t_0)<0$.
Dimostriamo questa affermazione nel caso $ \ddot{x}(t_0)>0$. Nell'altro caso si procede in modo analogo.

Essendo $ \ddot{x}(t_0)>0$, $ \ddot{x}(t)$ è crescente in $ t_0$ perciò $ \exists\,\bar{t}>t_0$ tale che $ \dot{x}(t)$, $ \forall t\in ]t_0,\bar{t}[$.
Ne segue che esiste $ \bar{x}>x_0$ t.c.

$\displaystyle f(x)>0\; \forall x\in ]x_0,\bar{x}[\;.$

Allora, poichè la funzione $ f(x)$ non si annulla nell'intervallo $ ]x_0,\bar{x}[$ possiamo calcolare il tempo $ t(x)$ impiegato dal punto a raggiungere la posizione $ x \in ]x_0,\bar{x}[$ mediante l'integrale

$\displaystyle t(x)=\int^{x}_{x_0}\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}$ (3.14)

che è un integrale generalizzato in $ x_0$.
Tuttavia $ x_0$ è una radice semplice di $ f(x)$, poichè dalla 3.10 si ha

$\displaystyle f'(x_0)=2\ddot{x}(t_0)\neq 0\;,$

siccome per ipotesi $ \ddot{x}(t_0)\neq 0$.
Allora, procedendo come nel caso 1.2.2 si ottiene che l'integrale 3.14 è convergente. Pertanto il punto impiega un tempo finito a raggiungere qualunque posizione $ x<\bar{x}$. Poichè per $ t_0<t<\bar{t}$ la velocità $ \dot{x}(t)$ è non nulla, si può prender una qualunque di queste posizioni $ x<\bar{x}$ come configurazione iniziale, con corrispondente velocità iniziale diversa da zero, e da questo istante per lo studio qualitativo del moto si può ripartire esattamente dal Caso 1.
Analisi qualitativa dei moti unidimensionali nel piano delle fasi Equivalenza tra le equazioni