Sezione: Dinamica del punto materiale

Equivalenza tra le equazioni (2.2) e (2.12) nel caso di un moto unidimensionale

Ritorniamo al caso del moto rettilineo di un punto materiale e supponiamo le forze agenti su

posizionali.
Nel caso di moto unidimensionale, per esempio lungo l'asse x, ogni forza $(\vec{F},P)$ posizionale è automaticamente conservativa con potenziale

$\displaystyle U(x)=\int{F_x(x)dx}\;,$

dove $\vec{F}=F_x(x)\vec{k}$ .
Indichiamo ora con $\vec{R}$ il vettore risultante delle forze agenti su

.
L' equazione 2.2 si può scrivere allora

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} m\ddot{x}=R_x \\ 0=R_y \\ 0=R_z \\ \end{array}\right.$

(2.13)

in cui

dipende solo dalla

.
Poichè il sistema è conservativo, vale perciò il teorema di conservazione dell'energia che si può scrivere, essendo $\dot{x}=\dot{y}=0$ ,

$\displaystyle \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)=E\;,$

(2.14)

dove $V(x)=-U(x)=-\int R_x(x)dx$ , ed

è la costante dell'energia (totale).
Alla 2.14 si può giungere direttamente dalla 2.13 e viceversa, cioè

$\displaystyle m\ddot{x}=R_x(x)\Longleftrightarrow \frac{1}{2}m\ddot{x}^2+V(x)=E$

Dimostrazione. Si ha $R_x(x)=m\ddot{x}$ ; moltiplichiamo per $\ddot{x}$ entrambi i membri ottenendo

$\displaystyle R_x(x)\cdot\dot{x}=m\ddot{x}\dot{x}$

dove $\displaystyle m\ddot{x}\dot{x}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2)$ e $R_x(x)\cdot\dot{x}=-\displaystyle \frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dV}{dt}$

quindi avremo $\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2)=-\frac{dV}{dt}$

cioè $\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x))=0$ .

Vale perciò il teorema di conservazione dell'energia.
Vediamo ora il viceversa. A partire da $\displaystyle \frac{1}{2}m\ddot{x}^2+V(x)=E$ , deriviamo rispetto a

entrambi i membri ottenendo

$\displaystyle m\ddot{x}\dot{x}+\frac{dV}{dt}=0$

dove $\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\dot{x}=-R_x(x)\cdot\dot{x}$ .

Quindi avremo $m\ddot{x}-R_x(x)=0$ cioè $m\ddot{x}=R_x(x)$ .
Troviamo così la 2.13 $\qedsymbol$

Quindi è equivalente utilizzare l'equazione di Newton oppure la legge di conservazione dell'energia.
Vogliamo allora risolvere il problema del moto di un punto materiale partendo da $\displaystyle \frac{1}{2}m\ddot{x}^2+V(x)=E$ con

definita dalle condizioni iniziali.
Illustriamo ora un metodo molto importante ed efficace per lo studio qualitativo del moto unidimensionale di un punto materiale, detto discussione alla Weierstrass.