Sezione: Dinamica del punto materiale

Il lavoro

Supponiamo che un punto $ P$ su cui agisce una forza $ (\vec{F},P)$ compia uno spostamento infinitesimo $ dP=\vec{v}dt$.

Definizione 2.4   Si chiama lavoro elementare della forza $ (\vec{F},P)$ relativo allo spostamento infinitesimo $ dP$ il prodotto scalare:

$\displaystyle dL=\vec{F}\cdot dP=F_xdx+F_ydy+F_zdz$

essendo $ \vec{F}=F_x\,\vec{i}+F_y\,\vec{j}+F_z\,\vec{k}$ e $ dP=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}$.
Se più forze $ (\vec{F}_1,P),...,\vec{F}_n,P)$ agiscono su $ P$, si chiama lavoro totale del sistema di forze relativo allo spostamento di $ P$ la somma dei lavori delle singole forze:

$\displaystyle dL=\vec{F}_1\cdot dP+\,,...,\,+\vec{F}_n\cdot dP=\vec{F}\cdot dP$

dove $ \vec{F}$ è il vettore risultante delle singole forze.

Definizione 2.5   Se $ \vec{F}$ dipende solo dalla posizione di $ P$, e non da $ \vec{v}$ e $ t$ esplicitamente, cioè $ \vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$, la forza $ (\vec{F},P)$ si dice posizionale.

Definizione 2.6   Se $ (\vec{F},P)$ è una forza posizionale ed esiste una funzione $ U(x,y,z)$ tale che

$\displaystyle dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz=F_xdx+F_ydy+F_zdz$

si dice che $ (\vec{F},P)$ è conservativa e $ U$ è detto il potenziale di $ (\vec{F},P)$.
In questo caso si ha:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} F_x=\displaystyle\frac{\partial U}{\pa... ...mm} \\ F_z=\displaystyle\frac{\partial U}{\partial z} \\ \end{array}\right.$ (2.7)

Siano $ (\vec{F}_1,P),...,(\vec{F}_n,P)$ le forze che agiscono su $ P$ e supponiamo che siano tutte conservative. Indichiamo con $ U_1,...,U_n$ i rispettivi potenziali. Allora si ha:

$\displaystyle dL=dU$

dove $ U=U_1+...+U_n$.
In questo caso si dice che il sistema di forze $ (\vec{F}_1,P),...,(\vec{F}_n,P)$ è conservativo e $ U$ viene detto il potenziale totale del sistema di forze.
Si chiama energia cinetica di P la grandezza scalare:

$\displaystyle T:=\frac{1}{2}mv^2$ (2.8)

dove si ricorda che $ v=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$ è il modulo di $ \vec{v}$. Possiamo ora dimostrare il seguente.

Teorema 2.2 (dell'energia cinetica o delle forze vive)  
Se $ \vec{F}$ è il vettore risultante delle forze agenti su $ P$ e $ dL=\vec{F}\cdot dP$ è il lavoro totale di tali forze si ha:

$\displaystyle dL=dT$ (2.9)

Dimostrazione. $ \displaystyle dL=\vec{F}\cdot dP=m\vec{a}\cdot \vec{v}dt=m\frac{d\vec{v}}{dt}\... ...1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)dt=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)dt=d(\frac{1}{2}mv^2)=dT$ $ \qedsymbol$

Definizione 2.7   Se in un intervallo finito di tempo$ [t_1,t_2]$ il punto $ P$ percorre una curva $ \gamma$ di estremi $ P_1$ , $ P_2$ si chiama lavoro finito di una forza $ (\vec{F},P)$ l'integrale curvilineo:

$\displaystyle L=\int_{\gamma}dL=\int_{\gamma}\vec{F}\cdot dP=\int_{\gamma}(F_xdx+F_ydy+F_zdz)$

Dal teorema dell' energia cinetica si ha allora:

$\displaystyle L=\int^{t_1}_{t_2}dT=T_2-T_1$ (2.10)

dove $ T_1=T(t_2)$ e $ T_2=T(t_1)$.
La 2.10 prende il nome di Teorema dell' energia cinetica in forma finita.

Teorema 2.3 (di conservazione dell'energia)  
Supponiamo che il sistema di forze agenti su $ P$ sia conservativo e sia $ U$ il potenziale totale. Allora

$\displaystyle T-U=$   costante

Dimostrazione. Dalla definizione di forza conservativa e dal teorema delle forze vive si ha

$\displaystyle dT=dL=dU\;,$ (2.11)

da cui $ d(T-U)=0$, donde l' asserto. $ \qedsymbol$

Definizione 2.8   Se tutte le forze agenti su $ P$ sono conservative si chiama energia potenziale $ V$ del punto l'opposto del potenziale:

$\displaystyle V:=-U.$

Allora dal Teorema di conservazione dell' energia si ha: $ d(T+V)=0$, cioè $ T+V$ è costante nel tempo e viene chiamata energia totale del punto. Tale costante è solitamente denotata $ E$:

$\displaystyle T+V=E.$

Dunque $ E$ è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. Si ha:

$\displaystyle T+V=T_0+V_0=E\;,$

dove $ T_0=\displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2$ e $ V_0=V(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ con $ v_0=v(t_0)$.
Quindi per conoscere l' energia totale $ E$ del punto occorre di nuovo conoscere la sua velocità iniziale $ v_0$ e la sua posizione iniziale $ P_0=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$.

Definizione 2.9   Si chiama integrale primo del moto una funzione $ \psi=(x,y,z;\dot x,\dot y,\dot z,t)$ delle coordinate $ x,y,z$ del punto, delle componenti della velocità $ \dot x,\dot y,\dot z$, e del tempo $ t$ che, durante il moto, rimane costante.
In altre parole, in ogni istante, si ha

$\displaystyle \psi=(x(t),y(t),z(t);\dot x(t),\dot y(t),\dot z(t),t)=c$

dove $ c$ indica una costante e le $ x(t),y(t),z(t);\dot x(t),\dot y(t),\dot z(t)$, sono le soluzioni di 2.2 e le loro derivate temporali.

Le costanti che compaiono negli integrali primi si calcolano ovviamente mediante le condizioni iniziali.
Ad esempio, un integrale primo dell' equazione del moto è dato dal teorema di conservazione dell' energia (2.3) e detto integrale si scrive:

$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+V(x,y,z)=\psi(x,y,z;\dot x,\dot y,\dot z)=E.$ (2.12)

Se si hanno uno o più integrali primi del moto, si può avere un metodo alternativo rispetto alle 2.2 per trovare $ x(t),y(t),z(t)$, cioè si ha un metodo alternativo per trovare il moto di $ P$.

Questo avviene nel caso del moto unidimensionale, cioè nel caso di un punto materiale vincolato a muoversi su di una retta (per esempio l'asse $ x$) soggetto a forze conservative. Questo sarà il contesto in cui lavoreremo d' ora in avanti.

Equivalenza tra le equazioni Legge fondamentale della Dinamica(II)