Soluzione 7.


  1. Si ha: u=√5-i  ⇒  u2=5-1-2i√5  ⇒  (u2-4)2=20i2  ⇒  u4-8u2+16=-20

da cui x4-8x2+36 è un polinomio a coefficienti razionali, monico, irriducibile (vedi sotto) e che si annulla in u, dunque è il polinomio minimo di u su Q:

pu(x)=x4-8x2+36

Irriducibilità di pu. Il Δ del polinomio in x2 è negativo quindi non è un quadrato in Q: se ne deduce che pu non fattorizza su Q come (x2-a)(x2-b). Potrebbe fattorizzare su Q in più generali polinomi di secondo grado di tipo ax2+bx+c.

Poichè in pu compaiono solo potenze pari di x, se a è una radice lo è anche -a. Poichè pu è un polinomio a coefficienti reali, se a è una radice lo è anche ā, cioè il complesso coniugato di a. Conosciamo una radice di pu, cioè u=√5-iC\R, quindi u≠ū; questo ci dà le quattro radici complesse di pu: u, -u, ū, . Quindi su C pu=(x-u)(x+u)(x-ū)(x+ū) e su R pu=(x2-2Re(u)x+u2)(x2+2Re(u)x+-u2)=(x2-2√5x+6)(x2+2√5x+6).
Ricordiamo infatti che per ogni numero complesso z si ha (x-z)(x-bar(z))=x2-2Re(z)x+z2R[x]. Poichè pu non ha fattori lineari su R non ne ha neanche su Q e se avesse fattori di secondo grado irriducibili questi sarebbero anche fattori su R. Quindi pu è irriducibile.



  1. Una base di Q(u) è data da: {1, u, u2, u3}={1, √5-i, 4-2i√5, 2√5-14i} quindi:




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