Soluzione 7.

1. Si ha: u=√5-i  ⇒  u²=5-1-2i√5  ⇒  (u²-4)²=20i²  ⇒  u⁴-8u²+16=-20

da cui x⁴-8x²+36 è un polinomio a coefficienti razionali, monico, irriducibile (vedi sotto) e che si annulla in u, dunque è il polinomio minimo di u su Q:

p_u(x)=x⁴-8x²+36

Poichè in p_u compaiono solo potenze pari di x, se a è una radice lo è anche -a. Poichè p_u è un polinomio a coefficienti reali, se a è una radice lo è anche ā, cioè il complesso coniugato di a. Conosciamo una radice di p_u, cioè u=√5-i∈C\R, quindi u≠ū; questo ci dà le quattro radici complesse di p_u: u, -u, ū, -ū. Quindi su C p_u=(x-u)(x+u)(x-ū)(x+ū) e su R p_u=(x²-2Re(u)x+∣u∣²)(x²+2Re(u)x+∣-u∣²)=(x²-2√5x+6)(x²+2√5x+6).
Ricordiamo infatti che per ogni numero complesso z si ha (x-z)(x-)=x²-2Re(z)x+∣z∣²∈R[x]. Poichè p_u non ha fattori lineari su R non ne ha neanche su Q e se avesse fattori di secondo grado irriducibili questi sarebbero anche fattori su R. Quindi p_u è irriducibile.

2. Una base di Q(u) è data da: {1, u, u², u³}={1, √5-i, 4-2i√5, 2√5-14i} quindi:

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