Soluzione 29.


  1. I campi Q(√2) e Q(1-√3)=Q(√3) sono isomorfi come gruppi abeliani additivi. Ma se esistesse una φ isomorfismo di anelli si avrebbe: φ(1)=1 e dunque Q verrebbe mandato da φ identicamente in sè stesso, per definizione di omomorfismo, cioè φ(a)=a per ogni a∈Q. Se φ(√2)=a+b√3 con a,b∈Q si avrebbe: 2=φ(2)=φ((√2)²)=a2+3b2+2ab√3, assurdo perchè non esistono soluzioni razionali del sistema a2+3b2=2, 2ab=0.



  1. Si ha: x3-3x2-2x=x(x2-3x-2) quindi A=Q[x]/(x3-3x2-2x) non è un campo. Invece 2x3-10x2-25x+5 è irriducibile per il criterio di Eisenstein con p=5 quindi B=Q[x]/(2x3-10x2-25x+5) è un campo. Quindi A e B non sono isomorfi come anelli.

Invece lo sono come Q-spazi vettoriali, perchè entrambi di dimensione 3 con base (1, [x], [x]2) dove [x] denota la classe di equivalenza di x nel relativo anello quoziente.



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