Soluzione 26.


Si ha:




  1. Si ha: u=1+√2  ⇒  (u-1)2=2  ⇒  u2-2u+1=2  ⇒  u2-2u-1=0

x2-2x-1 è un polinomio a coefficienti interi quindi razionali, monico ed irriducibile (il discriminante Δ=8 non è un quadrato in Q) che si annulla in u, dunque unico a soddisfare tutti e quattro questi requisiti. Quindi:

pu=x2-2x-1Q[x]

è il polinomio minimo di u su Q.



  1. L'estensione Q(u)/Q è finita in quanto generata su Q da un solo numero algebrico, dunque è anche algebrica. Il grado [Q(u):Q] è pari al grado di pu su Q e cioè è pari a 2.


  1. Si ha che u=1+√2Q(v) e v=√2Q(u), perchè 1+√2=v+1 e √2=u-1. Da qui le due inclusioni: Q(u)Q(v) e Q(v)Q(u). Ne segue dunque l'uguaglianza: Q(v)=Q(u).


  1. Il polinomio x2-2x-1 ha radici 1±√2Q(u)R ma che non sono razionali. Dunque tale polinomio è irriducubile su Q mentre spezza in due fattori lineari x-1-√2 ed x-1+√2 su Q(u) e su R. Si ha allora che l'ideale I=(x2-2x-1) è primo soltanto nell'anello di polinomi Q[x] e non in Q(u)[x] ed in R[x]; infatti ad esempio in Q(u)[x] si ha x-1-√2I, x-1+√2I ma (x-1-√2)(x-1+√2)I.



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