Soluzione
23.
- Se K=Z5,
il campo K(x)
ha cardinalità infinita ma ha caratteristica 5 finita. Infatti
in questo caso: 1K(x)=1Z5.
- Si ha: Q(√3)⊆Q(√3)[x]⊆Q(√3)(x),
dove il primo e il terzo sono campi mentre il secondo è
soltanto un dominio.
Ogni
elemento di Q(√3)
è algebrico
su Q,
quindi ad esempio √3 è
algebrico su Q;
mentre ad esempio x∈Q(√3)(x)
è trascendente su Q(√3)
e quindi su Q.
- Sia p∈Q[x] un polinomio
non nullo che si annulla su a:
p=a0+...+anxn.
Se esistesse un automorfismo φ : Q(√3)(x) → Q(√3)(x)
φ dovrebbe essere, come in ogni
isomorfismo di campi di caratteristica
0, φ(q)=q
per ogni q∈Q. Quindi 0=φ(0)=φ(a0+...+anan)=φ(a0)+...+φ(an)φ(a)n=φ(a0)+...+φ(an)tn
cioè p(t)=0 il che contraddice t
trascendente.
Torna
agli esercizi.
Torna
alla teoria.
Vai
all'esercizio 24.
