Soluzione 19.

1. Noto il risultato dell'esercizio 8, si ha la base: {1, u, u², u³}={1, √3-i√3, -6i, -6√3(1+i)}.

2. Si ha:

3. No: è facile verificare che S non è chiuso rispetto all'operazione di prodotto sui complessi infatti, per esempio, k·u∉Q, qualunque sia k razionale e diverso da 1.

4. E' possibile costruire un sottocampo di C che contenga √3-i√3 (e cioè che contenga un'estensione di Q di grado 4) e che sia una estensione di Q di grado 8, ma non di grado 6, poichè 4 divide 8 ma non 6 (Teorema della torre). Ad esempio: Q(√3-i√3,√2) è un'estensione di Q di grado 8.

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