Componenti connesse

 

Definizione 2.1 In uno spazio topologico X, due punti x e y sono detti connessi se $ un connesso Y tale che x, y Î Y.

 

Proposizione 2.2 Sia X uno spazio topologico, se " x, y Î X si ha che x e y sono connessi in X, allora X è connesso.

Dimostrazione

 

Proposizione 2.3 La relazione r definita su uno spazio topologico X da: "" x, y Î X, xr y Û x e y sono connessi in X" è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione

 

Definizione 2.4 Le classi di equivalenza rispetto a r (definita sopra) sono dette componenti connesse di X. Per ogni p Î X la componente connessa che contiene p è denotata con C(p)

 

Proposizione 2.5 Sia X spazio topologico; " punto p Î X, C(p) è il più grande sottoinsieme di X connesso che contiene p. In particolare X è connesso Û X ha una sola componente connessa.

Dimostrazione

 

Osservazioni 2.6 Sia X spazio topologico,

  le componenti connesse di X sono chiusi;
  le componenti connesse di X non sono necessariamente aperti, ma se sono in numero finito sono aperti.

Dimostrazione

 

 

Esempi Esercizi