Componenti connesse
Definizione 2.1
In uno spazio topologico X, due punti x e y sono detti connessi se $
un connesso Y tale che x, y Î
Y.
Proposizione 2.2
Sia X uno spazio topologico, se "
x, y Î
X si ha che x e y sono connessi in X, allora X è connesso.
Dimostrazione
Proposizione 2.3
La relazione r
definita su uno spazio topologico X da: ""
x, y Î
X, xr
y Û
x e y sono connessi in X" è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione
Definizione 2.4
Le classi di equivalenza rispetto a r
(definita sopra) sono dette componenti connesse di X. Per ogni p Î
X la componente connessa che contiene p è denotata con C(p)
Proposizione 2.5
Sia X spazio topologico; "
punto p Î
X, C(p) è il più grande sottoinsieme di X connesso che contiene p. In particolare X è connesso Û
X ha una sola componente connessa.
Dimostrazione
Osservazioni 2.6 Sia X spazio topologico,
le componenti connesse di X sono chiusi;
le componenti connesse di X non sono necessariamente aperti, ma se sono in numero finito sono aperti.
Dimostrazione
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